Câu 1: A

Câu 2: D

Câu 3: B

Câu 4: C

Bài 1:

a) 

\(A=\left(\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{8x}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{2(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right)\)

\(=\frac{4\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)-8x}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}:\frac{\sqrt{x}-1-2(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\frac{-4x-8\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{-\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{-4\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{3-\sqrt{x}}=\frac{-4x(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(3-\sqrt{x})}=\frac{4x}{\sqrt{x}-3}\)

b)

Ta có:
\(m(\sqrt{x}-3).A>x+2025\)

\(\Leftrightarrow 4xm>x+2025\Leftrightarrow x(4m-1)>2025\)

\(\Leftrightarrow 4m-1>\frac{2025}{x}\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}(\frac{2025}{x}+1)\) với mọi $x>9$

\(\Leftrightarrow m> \max \frac{1}{4}(\frac{2025}{x}+1), \forall x>9\Leftrightarrow m>56,5\)

Bài 2:

a) 

\(\left\{\begin{matrix} 4x-3y=19\\ 2x+3y=11\end{matrix}\right.\Rightarrow 6x=30\Rightarrow x=5\)

\(y=\frac{4x-19}{3}=\frac{4.5-19}{3}=\frac{1}{3}\)

b) 

\(3x^2-20x+12=0\Leftrightarrow (x-6)(3x-2)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=6\\ x=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 3:

Giả sử vòi 1 và vòi 2 chảy một mình trong lần lượt $a$ và $b$ giờ thì đầy bể.

Khi đó, trong 1 giờ:

Vòi 1 chảy được $\frac{1}{a}$ bể

Vòi 2 chảy được $\frac{1}{b}$ bể

Theo bài ra ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{9}{40}\\ \frac{3,6}{a}+\frac{3,6+0,4}{b}=\frac{85}{100}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{9}{40}\\ \frac{3,6}{a}+\frac{4}{b}=\frac{17}{20}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}=\frac{1}{8}\\ \frac{1}{b}=\frac{1}{10}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=8\\ b=10\end{matrix}\right.\)

Vậy vòi 1 chảy trong 8 giờ sẽ đầy bể.

Bài 4:

Để pt có nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=m^2-m+1\geq 0\Leftrightarrow (m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq 0$

$\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Khi đó, áp dụng định lý Viet: 

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=8\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=8\)

\(\Leftrightarrow (2m)^2-2(m-1)=8\Leftrightarrow 2m^2-m+1=4\)

\(\Leftrightarrow 2m^2-m-3=0\Leftrightarrow (m+1)(2m-3)=0\Rightarrow m=-1\) hoặc $m=\frac{3}{2}$

Bài 6:

\(4x^2+xy+4y^2=\frac{1}{2}(x+y)^2+\frac{7}{2}(x^2+y^2)\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^2+y^2\geq 2xy\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$

$\Rightarrow x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$

$\Rightarrow \frac{7}{2}(x^2+y^2)\geq \frac{7}{4}(x+y)^2$

$\Rightarrow 4x^2+xy+4y^2\geq \frac{9}{4}(x+y)^2$

$\Rightarrow \sqrt{4x^2+xy+4y^2}\geq \frac{3}{2}(x+y)$

Tương tự suy ra:

$B\geq 3(x+y+z)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$3(x+y+z)=(1+1+1)(x+y+z)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2=1$

$\Rightarrow B\geq 1$

Vậy $B_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=\frac{1}{9}$

Hình vẽ:

Bài 5:

a)

$HM\perp AB, HN\perp AC$ nên $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^0$

Tứ giác $AMHN$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{AMH}+\wideat{ANH}=90^0+90^0=180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.

b)

Vì $AMHN$ nội tiếp nên $\widehat{AMN}=\widehat{AHN}$

Mà $\widehat{AHN}=\widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{NHC}$)

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

Xét tam giác $AMN$ và $ACB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ACB$ (g.g)

c) 

Vì $AQBC$ là tứ giác nội tiếp nên:

$PQ.PA=PB.PC(1)$

Vì $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ nên $BMHC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow PM.PN=PB.PC(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow PQ.PA=PM.PN$

$\Rightarrow AQMN$ là tứ giác nội tiếp

Hay $A,Q,M,N$ cùng thuộc đtron

Ở phần a, ta cũng chỉ ra $A,M,H,N$ cùng thuộc đtron

Do đó: $A,Q,M,N,H$ cùng thuộc đường tròn

$\Rightarrow AQMH$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AQK}=\widehat{AQH}=\widehat{AMH}=90^0$

$\Rightarrow AK$ là đường kính của $(O)$

$\Rightarrow \widehat{ACK}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

Ta có đpcm.