Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{2sinx.cosx+sinx}{1+2cos^2x-1+cosx}=\frac{sinx\left(2cosx+1\right)}{cosx\left(2cosx+1\right)}=\frac{sinx}{cosx}=tanx\)
\(B=\frac{cosa}{sina}\left(\frac{1+sin^2a}{cosa}-cosa\right)=\frac{cosa}{sina}\left(\frac{1+sin^2a-cos^2a}{cosa}\right)=\frac{cosa}{sina}.\frac{2sin^2a}{cosa}=2sina\)
\(C=\frac{1+cos2x+cosx+cos3x}{2cos^2x-1+cosx}=\frac{1+2cos^2x-1+2cos2x.cosx}{cos2x+cosx}=\frac{2cosx\left(cosx+cos2x\right)}{cos2x+cosx}=2cosx\)
\(D=\frac{2sinx.cosx.\left(-tanx\right)}{-tanx.sinx}-2cosx=2cosx-2cosx=0\)
\(E=cos^2x.cot^2x-cot^2x+cos^2x+2cos^2x+2sin^2x\)
\(E=cot^2x\left(cos^2x-1\right)+cos^2x+2=\frac{cos^2x}{sin^2x}\left(-sin^2x\right)+cos^2x+2=2\)
\(F=\frac{sin^2x\left(1+tan^2x\right)}{cos^2x\left(1+tan^2x\right)}=\frac{sin^2x}{cos^2x}=tan^2x\)
Câu G mẫu số có gì đó sai sai, sao lại là \(2sina-sina?\)
\(H=sin^4\left(\frac{\pi}{2}+a\right)-cos^4\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)+1=cos^4a-sin^4a+1\)
\(=\left(cos^2a-sin^2a\right)\left(cos^2a+sin^2a\right)+1=cos^2a-\left(1-cos^2a\right)+1=2cos^2a\)
a/
\(\frac{1}{sinx}+\frac{cosx}{sinx}=\frac{1+cosx}{sinx}=\frac{1+2cos^2\frac{x}{2}-1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{2cos^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}=cot\frac{x}{2}\)
b/
\(\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{1-\left(1-2sin^2\frac{x}{2}\right)}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}=tan\frac{x}{2}\)
c/
\(tan\frac{x}{2}\left(\frac{1}{cosx}+1\right)=\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)\left(\frac{1}{cosx}+1\right)=\frac{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}{sinx.cosx}=\frac{1-cos^2x}{sinx.cosx}\)
\(=\frac{sin^2x}{sinx.cosx}=\frac{sinx}{cosx}=tanx\)
d/
\(\frac{sin2a}{2cosa\left(1+cosa\right)}=\frac{2sina.cosa}{2cosa\left(1+2cos^2\frac{a}{2}-1\right)}=\frac{sina}{2cos^2\frac{a}{2}}=\frac{2sin\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}}{2cos^2\frac{a}{2}}=tan\frac{a}{2}\)
e/
\(cotx+tan\frac{x}{2}=\frac{cosx}{sin}+\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{cosx+1-cosx}{sinx}=\frac{1}{sinx}\)
Các câu c, e đều sử dụng kết quả từ câu b
f/
\(3-4cos2x+cos4x=3-4cos2x+2cos^22x-1\)
\(=2cos^22x-4cos2x+2=2\left(cos^22x-2cos2x+1\right)\)
\(=2\left(cos2x-1\right)^2=2\left(1-2sin^2x-1\right)^2\)
\(=2.\left(-2sin^2x\right)^2=8sin^4x\)
g/
\(\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}=\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{1-cos^2x}=\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}=\frac{sinx}{1+cosx}\)
h/
\(sinx+cosx=\sqrt{2}\left(sinx.\frac{\sqrt{2}}{2}+cosx.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}+cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
i/
\(sinx-cosx=\sqrt{2}\left(sinx.\frac{\sqrt{2}}{2}-cosx.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}-cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)
j/
\(cosx-sinx=\sqrt{2}\left(cosx.\frac{\sqrt{2}}{2}-sinx\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(=\sqrt{2}\left(cosx.cos\frac{\pi}{4}-sinx.sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(\frac{1-cosx+cos2x}{sin2x-sinx}=\frac{1-cosx+2cos^2x-1}{2sinx.cosx-sinx}=\frac{cosx\left(2cosx-1\right)}{sinx\left(2cosx-1\right)}=\frac{cosx}{sinx}=cotx\)
\(A=sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+x\right)=sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=0\)
Mẫn Li
Câu 4 nếu bạn ko đánh sai thì người ghi đề sai :D, tử số phải là sinb chứ ko phải sina (đã chứng minh bên trên)
Câu 2b sửa lại thì cm dễ thôi:
\(\frac{cos\left(a+b\right).cos\left(a-b\right)}{sin^2a.sin^2b}=\frac{\frac{1}{2}cos2a+\frac{1}{2}cos2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1-sin^2a-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1}{sin^2a.sin^2b}-\frac{1}{sin^2a}-\frac{1}{sin^2b}\)
\(=\left(1+cot^2a\right)\left(1+cot^2b\right)-\left(1+cot^2a\right)-\left(1+cot^2b\right)\)
\(=1+cot^2a+cot^2b+cot^2a.cot^2b-2-cot^2a-cot^2b\)
\(=cot^2a.cot^2b-1\)
(từ đầu bằng thứ nhất ra thứ 2 sử dụng ct nhân đôi \(cos2x=1-2sin^2x\))
Rất xin lỗi bạn!
Câu 2b do mình đánh sai dấu phải là \(\frac{cos\left(a+b\right)\times cos\left(a-b\right)}{sin^2a\times sin^2b}=cot^2a\times cot^2b-1\)
Câu 3 mình cũng đánh sai luôn:
\(sin\frac{A}{2}=cos\frac{B}{2}\times cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2}\times sin\frac{B}{2}\)
Còn câu 4 thì mình ko có đánh sai! Thành thật xin lỗi bạn! Mình sẽ khắc phục sự cố này!
Lời giải:
a)
\(\cos 2a=\frac{2}{5}\Rightarrow \sin ^22a=1-(\cos 2a)^2=1-(\frac{2}{5})^2=\frac{21}{25}\)
Vì $a\in (0; \frac{\pi}{4})\Rightarrow 2a\in (0; \frac{\pi}{2})$
$\Rightarrow \sin 2a>0\Rightarrow \sin 2a=\frac{\sqrt{21}}{5}$
$\tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{\sqrt{21}}{5.\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$
$\cot 2a=\frac{1}{\tan 2a}=\frac{2}{\sqrt{21}}$
-------------------------
$\sin 2a=\frac{24}{25}\Rightarrow \cos ^22a=1-(\sin 2a)^2=\frac{49}{625}$
$a\in [\frac{-3}{4}\pi; \frac{-\pi}{2}]\Rightarrow 2a\in [\frac{-3}{2}\pi ; -\pi]\Rightarrow \cos 2a< 0$
$\Rightarrow \cos 2a=\frac{-7}{25}$
$\Rightarrow \tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{24}{25.\frac{-7}{25}}=\frac{-24}{7}$
$\Rightarrow \cot 2a=\frac{-7}{24}$
\(\pi< a< \frac{3\pi}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sina< 0\\cosa< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow sin2a=2sina.cosa>0\)
\(\Rightarrow sin2a=\sqrt{1-cos^22a}=\frac{3\sqrt{7}}{8}\)
\(cos2a=1-2sin^2a=\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow sin^2a=\frac{7}{16}\Rightarrow sina=-\frac{\sqrt{7}}{4}\)
\(\Rightarrow M=\frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}-\frac{3\sqrt{7}}{8}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{3\sqrt{7}}{8}}=...\)
\(sinx\left(1-tan^2\frac{x}{2}\right)=sinx\left(1-\frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}\right)=sinx\left(1-\frac{1-cosx}{1+cosx}\right)\)
\(=sinx\left(\frac{1+cosx-\left(1-cosx\right)}{1+cosx}\right)=\frac{2sinx.cosx}{1+cosx}\)
\(1-sin2x.sin3x-cos2x.cos3x=1-\left(cos3x.cos2x+sin3x.sin2x\right)=1-cos\left(3x-2x\right)=1-cosx\)
\(\Rightarrow\frac{1-sin2x.sin3x-cos2x.cos3x}{sinx\left(1-tan^2\frac{x}{2}\right)}=\frac{1-cosx}{\frac{2sinx.cosx}{1+cosx}}=\frac{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}{2sinx.cosx}\)
\(=\frac{1-cos^2x}{2sinx.cosx}=\frac{sin^2x}{2sinx.cosx}=\frac{sinx}{2cosx}=\frac{1}{2}tanx\)
\(\frac{sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx}{sinx+cosx}-\left(1-tan^2\frac{x}{2}\right).cos^2\frac{x}{2}\)
\(=\frac{\left(sinx+cosx\right)^2}{sinx+cosx}-\left(cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}\right)\)
\(=sinx+cosx-cosx=sinx\)
\(sin^4x+cos^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)\right)^2\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}cos^22x+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}sin2x\right)^2\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}cos^22x+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}sin^22x\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\left(cos2x+sin2x\right)+\frac{1}{4}\left(cos^22x+sin^22x\right)\)
\(=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)
Cảm ơn bạn nhiều nha
Câu 2:
Bạn tham khảo ở đây:
Câu hỏi của Linh Chi - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Câu 1:
Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;2\right)\) bán kính \(R=3\)
\(\Rightarrow\) Đường kính đường tròn bằng 6
Do d cắt đường tròn theo dây cung có độ dài bằng 6 \(\Leftrightarrow\) d đi qua tâm I
Mà d vuông góc \(\Delta\) nên d nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x+1\right)+2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+2y-3=0\)
Câu 3:
\(\frac{\pi}{2}< x< \pi\Rightarrow cosx< 0\Rightarrow cosx=-\sqrt{1-sin^2x}=-\frac{4}{5}\)
\(sin2x=2sinx.cosx=2.\frac{3}{5}.\left(-\frac{4}{5}\right)=...\)
\(cotx=\frac{cosx}{sinx}=...\)
\(tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{tanx-tan\frac{\pi}{4}}{1+tanx.tan\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{sinx}{cosx}-1}{1+\frac{sinx}{cosx}}=...\)
b/
\(sin^6x+cos^6x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)
\(=1-3sin^2x.cos^2x=1-\frac{3}{4}sin^22x\)
\(=1-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos4x\right)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x\)
c/
\(sin2A+sin2B=2sin\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)=2sinC.cos\left(A-B\right)\)
Mà \(cos\left(A-B\right)\le1\Rightarrow sinC.cos\left(A-B\right)\le sinC\)
\(\Rightarrow sin2A+sin2B\le2sinC\)
Tương tự:
\(sin2A+sin2C=2sinB.cos\left(A-C\right)\le2sinB\)
\(sin2B+sin2C=2sinA.cos\left(B-C\right)\le2sinA\)
Cộng vế với vế:
\(sin2A+sin2B+sin2C\le sinA+sinB+sinC\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(cos\left(A-B\right)=cos\left(B-C\right)=cos\left(A-C\right)=1\)
\(\Leftrightarrow A-B=B-C=A-C=0\)
\(\Leftrightarrow A=B=C\) hay tam giác ABC đều
Bài 5:
\(A=\frac{sinx+sin3x+sin2x}{cosx+cos3x+cos2x}=\frac{2sin2x.cosx+sin2x}{2cos2x.cosx+cos2x}=\frac{sin2x\left(2cosx+1\right)}{cos2x\left(2cosx+1\right)}=\frac{sin2x}{cos2x}=tan2x\)
Bài 4:
\(\overrightarrow{NM}=\left(2;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng MN nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình MN:
\(1\left(x-1\right)-2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0\)
Đường tròn (T) tâm M tiếp xúc d \(\Leftrightarrow R=d\left(M;d\right)=\frac{\left|3-4.3-6\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=3\)
Phương trình (T): \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=9\)
Đường tròn (C) có tâm \(I\left(3;2\right)\) bán kính \(R_1=4\)
\(\overrightarrow{MI}=\left(2;-1\right)\Rightarrow IM=\sqrt{5}< R\Rightarrow\) M nằm phía trong (C)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên \(d'\)
Pitago: \(IH^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2=R_1^2\Rightarrow AB=2\sqrt{16-IH^2}\)
\(\Rightarrow AB_{min}\) khi \(IH_{max}\)
Trong tam giác vuông \(IHM\) ta luôn có \(IH\le IM\)
\(\Rightarrow IH_{max}=IM\) khi H trùng M hay \(d'\perp IM\)
\(\Rightarrow d'\) nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt và đi qua M
Phương trình d': \(2\left(x-1\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-y+1=0\)
Câu 7:
\(A=\frac{2sin3a.sina}{2cos3a.sina}+\frac{2sin3a.sin2a}{2cos3a.sin2a}=\frac{sin3a}{cos3a}+\frac{sin3a}{cos3a}=2tan3a\)
\(A=2\Leftrightarrow tan3a=1\Rightarrow3a=\frac{\pi}{4}+k\pi\Rightarrow a=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\)
Câu 6:
Gọi D là trung điểm AB \(\Rightarrow CD\perp AB\) và G thuộc CD
\(\Rightarrow GD\perp AB\Rightarrow GD=d\left(G;AB\right)=\frac{\left|\frac{14}{3}+\frac{5}{3}-2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{6}\)
Theo tính chất trọng tâm: \(GD=\frac{1}{3}CD\Rightarrow CD=\frac{13\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow AB=\frac{2S}{CD}=5\sqrt{2}\)
\(CD\perp AB\Rightarrow\) đường thẳng CD nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt
Pt CD (qua G) có dạng:
\(1\left(x-\frac{14}{3}\right)-1\left(y-\frac{5}{3}\right)=0\Leftrightarrow x-y-3=0\)
D là giao điểm CD và AB nên tọa độ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-3=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GD}=\left(-\frac{13}{6};-\frac{13}{6}\right)\) mà \(\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{GD}\Rightarrow C\left(9;6\right)\)
\(AB=5\sqrt{2}\Rightarrow A;B\) thuộc đường tròn tâm D bán kính \(R=\frac{AB}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\) có pt:
\(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\)
Tọa độ A; B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x^2-5x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(0;2\right)\\B\left(5;-3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}\Rightarrow\) pt trung trực AC \(\Rightarrow\) tâm I đường tròn ngoại tiếp \(\Rightarrow\)...
Câu 8:
Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)
\(\overrightarrow{AI}=\left(0;-2\right)\Rightarrow IA=\sqrt{0+\left(-2\right)^2}=2< R\)
\(\Rightarrow A\) nằm phía trong đường tròn
b/ Gọi \(x\) là độ dài đại số của khoảng cách từ O đến đường thẳng BC, H là trung điểm BC \(\Rightarrow\left|x\right|=IH\)
ABC cân vuông tại A \(\Rightarrow AI\perp BC\) \(\Rightarrow A;I;H\) thẳng hàng; \(AH=\frac{1}{2}BC\)
Pitago tam giác IAH:
\(x^2=R^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2=10-AH^2=10-\left(AI+x\right)^2=10-\left(2+x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2=10-x^2-4x-4\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow d\left(I;BC\right)=\frac{3}{2}\) (với đường thẳng BC nằm khác phía I so với A)
BC vuông góc AI nên nhận \(\left(0;1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình BC có dạng: \(y+a=0\)
\(d\left(I;BC\right)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\left|-2+a\right|=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{7}{2}\\a=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Phương trình BC (hay d) : \(y+\frac{7}{2}=0\)
Câu 9:
\(\overrightarrow{BC}=\left(3;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận \(\left(4;-3\right)\) là 1 vtpt
Phương trình BC:
\(4\left(x-0\right)-3\left(y+4\right)=0\Leftrightarrow4x-3y-12=0\)
b/ (T) tiếp xúc BC khi và chỉ khi \(R=d\left(A;BC\right)\)
\(\Leftrightarrow R=\frac{\left|7.4-2.3-12\right|}{\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}}=2\)
Phương trình (T): \(\left(x-7\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\)
c/ Đặt \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BM}=\left(x;y+4\right)\\\overrightarrow{CM}=\left(x-3;y\right)\end{matrix}\right.\)
\(MB^2-MC^2=53\Leftrightarrow x^2+\left(y+4\right)^2-\left(x-3\right)^2+y^2=53\)
\(\Leftrightarrow3x+4y-23=0\) \(\Rightarrow y=\frac{23-3x}{4}\)
Thế vào pt đường tròn:
\(\left(x-7\right)^2+\left(\frac{23-3x}{4}-2\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow25x^2-313x+945=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\frac{189}{25}\end{matrix}\right.\)
Có 2 điểm M thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}M\left(5;2\right)\\M\left(\frac{189}{25};\frac{2}{25}\right)\end{matrix}\right.\)
Giải câu 10 trước:
Trước hết ta có đánh giá sau với các số dương: \(\frac{x^4+y^4}{x^6+y^6}\le\frac{2}{x^2+y^2}\)
Thật vậy, BĐT trên tương đương:
\(\left(x^4+y^4\right)\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x^6+y^6\right)\)
\(\Leftrightarrow x^6-x^4y^2+y^6-x^2y^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x^2-y^2\right)-y^4\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Đặt vế trái của biểu thức là A, áp dụng kết quả trên, ta có:
\(A\le\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{b^2+c^2}+\frac{2}{c^2+a^2}\le\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\) (1)
Theo công thức Hê-rông:
\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\left(\frac{a+c-b}{2}\right)\left(\frac{b+c-a}{2}\right)}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)=48\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\) (2)
\(\Rightarrow xyz\left(x+y+z\right)=48\)
Mà \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)^2\ge144\Rightarrow xy+yz+zx\ge12\)
Thế (2) vào (1) \(\Rightarrow A\le\frac{4}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{4}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{4}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{8\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\frac{8\left(x+y+z\right)}{\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{xy+yz+zx}\le\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)