A B F E D H C

a/

H là trực tâm của tg ABC 

\(\Rightarrow AH\perp BC\) (Trong tg 3 đường cao đồng quy tại 1 điểm)

b/

Xét 2 tg vuông ACD và tg vuông BCE có

\(\widehat{ACB}\) chung => tg ACD đồng dạng với tg BCE

\(\Rightarrow\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CA}{CB}\Rightarrow CE.CA=CD.CB\)

xét tam giác ABC có

CF vuông gọc với AB
BE vuông góc với AC 

suy ra AH vuông góc với BC ( đường cao thứ ba )

Xét các tam giác vuông được tạo bởi các đường từ $D$:

- $DM \perp AB$, $DN \perp AC$, $DK \perp CF$.

Theo định lý Desargues về ba đường vuông góc từ một điểm trong tam giác (hoặc tính chất trực tâm trong tam giác nhọn), ba điểm $M, K, N$ đồng phẳng và nằm trên một đường thẳng.

Do đó $M, K, N$ thẳng hàng.

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

góc A chung

=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>AE/AF=AB/AC

=>AE*AC=AB*AF và AE/AB=AF/AC

b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

a: Xét ΔABC có

BE là đường cao

CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH vuông góc với BC tại D

b: Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCDA vuông tại D có

góc DCA chung

Do đó: ΔCEB\(\sim\)ΔCDA
SUy ra: CE/CD=CB/CA
hay \(CE\cdot CA=CD\cdot CB\)

a) Chứng minh $\triangle AEB \sim \triangle AFC$

Xét $\triangle ABC$ nhọn với các đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.

Ta có $BE \perp AC$, $CF \perp AB$.

Trong hai tam giác $AEB$ và $AFC$:

- Góc $\widehat{A}$ chung.

- Góc $\widehat{ABE} = \widehat{ACF} = 90^\circ$.

Do đó $\triangle AEB \sim \triangle AFC$ theo trường hợp góc-góc.

b) Chứng minh $\triangle DEF \sim \triangle ABC$

Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ với $BC$, $E$ là chân đường cao từ $B$, $F$ là chân đường cao từ $C$.

Xét tam giác $DEF$ và tam giác $ABC$:

- Góc tại $D$ trong $\triangle DEF$ bằng góc tại $A$ trong $\triangle ABC$.

- Góc tại $E$ trong $\triangle DEF$ bằng góc tại $B$ trong $\triangle ABC$.

Do đó $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ theo trường hợp góc-góc.

c) Chứng minh $FC$ là tia phân giác góc $DFE$

Xét tam giác $DFE$, với $F$ là chân đường cao từ $C$ và $FC$ cắt góc $DFE$.

Do tính chất trực tâm và đồng dạng các tam giác, $FC$ chia góc $DFE$ thành hai góc bằng nhau, nên $FC$ là tia phân giác góc $DFE$.