giups minh cau 1d, 2c , cam on nhieu1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt hai cạnh Ab , AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của CE và BF, D là giao điểm của AD và BC.a) Chứng minh AEHF nội tiếpb) Chứng minh EC là tia phân giác của góc DEFc) Đường thẳng EF cắt BC tại M, Chứng minh MB.MC=ME.MF=MO.MDd) AD cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh MI là tiếp tuyến của...
Đọc tiếp
giups minh cau 1d, 2c , cam on nhieu
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt hai cạnh Ab , AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của CE và BF, D là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh AEHF nội tiếp
b) Chứng minh EC là tia phân giác của góc DEF
c) Đường thẳng EF cắt BC tại M, Chứng minh MB.MC=ME.MF=MO.MD
d) AD cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh MI là tiếp tuyến của (O)
e) Đường thẳng qua D song song với MF, cắt AB và AC lần lượt tại K và L. Chứng minh : M, K, L, O cùng thuộc một đường tròn.
2. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B và C là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E), gọi I là trung điểm của DE.
a) Chứng minh 5 điểm A;B;O;I;C cùng nằm trên một đường tròn suy ra IA là phân giác của góc BIC
b) BC cắt AE tại K. Chứng minh KA.KI=KD.KE
c) Qua C kẻ đường thẳng song với AB, đường này cắt các đướng thẳng BE, BD lần lượt tại P và Q. Chứng minh C là trung điểm của PQ.
d) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại S và H. Đường thẳng HK cắt (O) tại điểm thứ hai là T. Chứng minh 3 điểm A, T, S thẳng hàng
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE⊥AD tại E
Xét ΔABD vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(3\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
b: Ta có: \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
=>\(\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD}\)
Xét ΔAEH và ΔAOD có
\(\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD}\)
góc EAH chung
Do đó: ΔAEH~ΔAOD
=>\(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)
ΔAEH~ΔAOD
=>\(\hat{AEH}=\hat{AOD}\)
mà \(\hat{AEH}+\hat{HED}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{HED}+\hat{HOD}=180^0\)
=>OHED là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{OED}=\hat{OHD}\)
mà \(\hat{OED}=\hat{ODE}=\hat{ODA}\) (ΔODE cân tại O)
và \(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)
nên \(\hat{OHD}=\hat{AHE}\)
Ta có: \(\hat{OHD}+\hat{DHC}=\hat{OHC}=90^0\)
\(\hat{AHE}+\hat{CHE}=\hat{AHC}=90^0\)
mà \(\hat{OHD}=\hat{AHE}\)
nên \(\hat{DHC}=\hat{EHC}\)
=>HC là phân giác của DHE
c: Gọi K là giao điểm của OI và BC
ΔODE cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥DE tại I
=>OK⊥DE tại I
Xét ΔOIA vuông tại I và ΔOHK vuông tại H có
góc IOA chung
Do đó: ΔOIA~ΔOHK
=>\(\frac{OI}{OH}=\frac{OA}{OK}\)
=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OA\)
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
=>\(OI\cdot OK=R^2\)
=>\(OI\cdot OK=OE^2\)
=>\(\frac{OI}{OE}=\frac{OE}{OK}\)
Xét ΔOIE và ΔOEK có
\(\frac{OI}{OE}=\frac{OE}{OK}\)
góc IOE chung
Do đó: ΔOIE~ΔOEK
=>\(\hat{OIE}=\hat{OEK}\)
=>\(\hat{OEK}=90^0\)
=>\(\hat{OEK}=\hat{OES}=90^0\)
mà K thuộc tia OI và S cũng thuộc tia OI
nên K trùng với S
=>S,B,C thẳng hàng