Câu 1:

a : 255 dư 170 nên

a = 255k + 170

a = 85(3k +2)

a ⋮ 85

Vậy a chia hết 85

Câu 2:

S = 5 + 5^2+ 5^3+ ..+ 5^30

Xét dãy số: 1; 2; 3;..; 30

Dãy số trên có 30 số hạng vì 30 : 2 = 15

Nhóm 2 số hạng liên tiếp của S vào nhau ta được:

S = (5+5^2) + ..+ (5^29 + 5^30)

S = 5.(1+5) + ..+ 5^29(1+ 5)

S = (1+5).(5+ ..+ 5^29)

S = 6.(5+...+5^29)

S ⋮ 6 (đpcm)

Ta có : S = 1 + 5¹ + 5² +...+ 5¹² + 5¹³ 

=> S = 1 + 5 + (5² + 5³ + 5⁴ ) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷) + ...... + (5¹¹ + 5¹² + 5¹³) 

=> S = 6 + 5²(1 + 5 + 25) + 5⁵(1 + 5 + 25) + ..... + 5¹¹(1 + 5 + 25)

=> S = 6 + 5².31 + 5⁵.31 + ..... + 5¹¹.31

=> S = 6 + (5².31 + 5⁵.31 + ..... + 5¹¹.31)

=> S = 6 + 31(5² + 5⁵ + ..... + 5¹¹)

Mà : 31(5² + 5⁵ + ..... + 5¹¹) chia hết cho 31

Nên S = 6 + 31(5² + 5⁵ + ..... + 5¹¹) chia 31 dư 6 

5S= 5+5² +5³ +....+ 5¹³ + 5¹⁴

4S=(5+5² +5³ +....+ 5¹³ + 5¹⁴) - (1+ 5 + 5²+5³ +....+ 5¹² + 5¹³ )

4S= 5¹⁴ - 1 

S=  5¹⁴ - 1 :4 =6103515625 -\(\frac{1}{4}\)= 6103515624.75

S: 31 = 6103515624.75 : 31

A= 5⁰+5¹+5²+..........+5²⁰⁰²

   = 1+5+5²+..........+ 5²⁰⁰²

   = 1+ (5+5²+5³)+.....+ ( 5²⁰⁰⁰+5²⁰⁰¹+5²⁰⁰²)

   = 1+ 5( 1+5+5²) + .....+5²⁰⁰⁰( 1+5+5²)

    = 1+ (5+...+5²⁰⁰⁰)( 1+5+5²)

    = 1+ (5+....+5²⁰⁰⁰)31 chia 31 dư 1

Câu a:

A = 5 + 5^2 + 5^3

A = 5.(1+ 5 + 5^2)

A = 5.(1+ 5+ 25)

A = 5.(6 + 25)

A = 5.31

A ⋮ 31 (đpcm)

Câu b:

A = 5+ 5^2+ 5^3 + ..+ 5^99

Xét dãy số: 1; 2; 3; ..; 99

Dãy số trên có 99 số hạng vì 99 : 3 = 33

Nên ta nhóm 3 số hạng liên tiếp của A vào nhau khi đó:

A = (5+ 5^2+ 5^3) + ..+ (5^97+ 5^98 + 5^99)

A = 5.(1+5+5^2) + ..+ 5^97.(1+5+5^2)

A = (1+5+5^2).(5+ ..+ 5^97)

A =31.(5+..+5^97)

A ⋮ 31 (đpcm)

5A=5+5²+5³+.....+5¹³

5A—A=(5+5²+5³+...+5¹⁴)—(1+5+5²+...+5¹³)

4A=5¹⁴—1

A=(5¹⁴—1):4

Đoạn này tự làm

 Số dư là:6 bạn nha!

Bài 2a:

5^98 + 5^97 + 5^96 = 5^x.5^x+1.5^x+2.31

5^96(5^2+ 5 + 1) = 5^(x+x+1+x+2).31

5^96.(25+ 5+ 1) = 5^(3x+3).31

5^96.31 = 5^(3x+3).31

5^96 = 5^(3x+ 3).(31 : 31)

5^96 = 5^(3x+ 3)

3x+ 3 = 96

3x = 96 - 3

3x = 93

x = 93 : 3

x = 31

Vậy x = 31

Bài 2b:

B = \(\frac{x-3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

Biểu thức B có nghĩa khi và chỉ khi:

(\(x\) + 1)(\(x-1\)) ≠ 0

\(x+1\) ≠ 0 và \(x-1\) ≠ 0

\(x\) ≠ -1 và \(x\) ≠ 1

a/ Ta có:

\(5A=5^2+5^3+...+5^{21}\)

\(\Rightarrow5A-A=\left(5^2+5^3+...+5^{21}\right)-\left(5+5^2+...+5^{20}\right)\)

\(\Rightarrow4A=5^{21}-5\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{5^{21}-5}{4}\)

b/ D ở đâu thế???

a) Ta có:

A = 5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰

5A = 5(5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰)

5A = 5² + 5³ +.....+ 5²⁰ + 5²¹

5A - A = (5² + 5³ +.....+ 5²⁰ + 5²¹) - (5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰)

4A = 5²¹ - 5

A = (5²¹ - 5) : 4

b) Ta có:

A = 5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰

= 5 + 5² + (5³ + 5⁴ + 5⁵) + (5⁶ + 5⁷ + 5⁸) +....+ (5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰)

= 30 + 5³(1 + 5 + 5²) + 5⁶(1 + 5 + 5²) +....+ 5¹⁸(1 + 5 + 5²)

= 30 + 5³.31 + 5⁶.31 +...+ 5¹⁸.31

= 30 + (5³ + 5⁶ +....+ 5¹⁸) . 31

Vậy số dư khi chia D cho 31 là 30