4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

*Theo BĐT Cô-si: \(a^2+b^2\ge2ab\) (1) ; \(b^2+c^2\ge2bc\) (2) ;  \(c^2+a^2\ge2ca\) (3)

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được \(2P\ge2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow P\ge ab+bc+ca=9\)

Vậy minP = 9, dấu bằng xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=9\\ab+bc+ca=9\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}}\)

**Từ giả thiết \(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)=9\Leftrightarrow c=\frac{9-ab}{a+b}\left(+\right)\)mà a, b, c là các số thực \(\ge1\)nên a,b \(\in\)[\(1;+\infty\)), tức là a, b dương vô cực, lớn không giới hạn \(\Rightarrow\left(+\right)\)dương vô cực hay \(a^2+b^2+c^2\)cũng lớn không giới hạn

Do đó: Không tồn tại maxP với điều kiện a, b, c là các số thực \(\ge1\)

***Kết luận: minP = 9 ; maxP không tồn tại

Mình xin lỗi bạn Kim Huệ Thương nhé! Phần GTLN của câu này mình xin phép giải lại, mong bạn thông cảm vì sơ suất của mình nhé!

Ta có: \(a\ge1;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)(1)

Tương tự ta có: \(bc+1\ge b+c\)(2),      \(ca+1\ge c+a\)(3)

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: \(ab+bc+ca+3\ge2\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow a+b+c\le\frac{ab+bc+ca+3}{2}=\frac{9+3}{2}=6\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le36\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le36-2\left(ab+bc+ca\right)=36-18=18\)

Dấu ''='' xảy ra khi:  \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=18\\ab+bc+ca=9\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}or\hept{\begin{cases}a=1\\b=4\\c=1\end{cases}or\hept{\begin{cases}a=4\\b=1\\c=1\end{cases}}}}}\)

Xin lỗi bạn nhé!         ^_^

Đặt:

\(p = a + b + c , q = a b + b c + c a , r = a^{2} + b^{2} + c^{2} .\)

Khi đó, điều kiện bài toán trở thành:

\(3 r + q = 12.\)

Ta cần chứng minh:

\(22 \textrm{ }\textrm{ } \leq \textrm{ }\textrm{ } \frac{r}{p + q} \textrm{ }\textrm{ } \leq \textrm{ }\textrm{ } 32.\)

Bước 1. Biểu diễn lại mẫu số

Từ hằng đẳng thức:

\(p^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = r + 2 q .\)

Vậy:

\(p + q = \left(\right. p^{2} - r \left.\right) + \left(\right. p - r \left.\right) ? ?\)

👉 Ở đây có chút khó khăn: trực tiếp so sánh tỉ số \(\frac{r}{p + q}\) với số nguyên (22,32) là không khớp — vì bài toán gốc em chép có thể bị sai số trong đề.

⛔ Lý do: Với điều kiện \(3 r + q = 12\), thì \(r\) và \(q\) tối đa chỉ cỡ 12, nên tỉ số \(\frac{r}{p + q}\) chắc chắn nhỏ (≤ vài đơn vị). Không thể lớn đến 22 hay 32 được.

Nhận xét

Có thể trong đề gốc:

• Bất đẳng thức cần chứng minh là:

\(\frac{2}{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a + b + c + a b + b c + c a} \leq \frac{3}{2}\)

hoặc tương tự (số 22 và 32 có thể là \(\frac{2}{2}\) và \(\frac{3}{2}\), nhưng bị gõ nhầm khi soạn đề 🤔).

👉 Em kiểm tra lại đề gốc xem có phải dấu ngoặc hay dấu phân số bị lệch khi copy không. Vì theo điều kiện \(3 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) + a b + b c + c a = 12\), chắc chắn kết quả bất đẳng thức phải là những con số nhỏ (dạng \(\frac{2}{2} , \frac{3}{2} , 2 , 3\)), chứ không thể là 22 hoặc 32.

đề không sai nhé mọi người