Lời giải:

a.

Số thứ nhất: $\frac{1}{5}=\frac{1}{1\times 5}$

Số thứ hai: $\frac{1}{45}=\frac{1}{5\times 9}$

Số thứ ba: $\frac{1}{117}=\frac{1}{9\times 13}$

Như vậy mỗi số hạng trong tổng A đều có dạng $\frac{1}{x\times (x+4)}$

Số hạng thứ 100 sẽ có $x$ thỏa mãn:

$(x-1):4+1=100$

$(x-1):4=99$

$x=99\times 4+1=397$

Vậy số hạng thứ 100 là: $\frac{1}{397\times 401}$
b.

Tổng 100 số hạng:

$A=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+....+\frac{1}{397\times 401}$

$4\times A=\frac{5-1}{1\times 5}+\frac{9-5}{5\times 9}+\frac{13-9}{9\times 13}+....+\frac{401-397}{397\times 401}$

$4\times A=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+....+\frac{1}{397}-\frac{1}{401}$

$4\times A=1-\frac{1}{401}$

$A=\frac{1}{4}-\frac{1}{4\times 401}$

$\Rightarrow A< \frac{1}{4}$

Câu a:

Quy luật của dãy số là:

Mỗi phân số trong dãy số đều có tử số là một và mẫu số là tích của hai thừa số lẻ hơn kém nhau 4 đơn vị. thừa số thứ nhất của mẫu này là thừa số thứ hai của mẫu kia.

Câu b:

st1 = 1/5 = 1/1.5 = 1/(1 + 4.0).(1 + 4.1)

st2 = 1/45 = 1/(1 + 4.1).(1 + 4.2)

st3 = 1/117 = 1/(1 + 4.2).(1 + 4.3)

....................................................

stn = 1/[1 + 4.(n - 1)].[1 + 4.n]

St10 = 1/[1 + 4.(10 - 1)].[1 + 4.10] = 1/37.41

st100 = 1/(1 + 4.(100 - 1)].[1 + 4.100] = 1/397.401

Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy trên là:

\(\frac{1}{5}+\frac{1}{45}+\frac{1}{117}+\frac{1}{221}+...+\frac{1}{159197}\)

=\(\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\frac{1}{13.17}+...+\frac{1}{397.401}\)

=\(\frac{1}{4}.\left(\frac{4}{1.5}+\frac{4}{5.9}+\frac{4}{9.13}+\frac{4}{13.17}+...+\frac{4}{397.401}\right)\)

=\(\frac{1}{4}.\left(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1`}{17}+...+\frac{1}{397}-\frac{1}{401}\right)\)

=\(\frac{1}{4}.\left(1-\frac{1}{401}\right)<\frac{1}{4}.\left(1-0\right)=\frac{1}{4}.1=\frac{1}{4}\)

=>ĐPCM

làm sao để biết đc số cuối là số nào

Bài đã đăng bạn lưu ý không đăng lại nữa nhé, tránh gây loãng chuyên mục hỏi đáp. 

Số thứ nhất: $\frac{1}{5}=\frac{1}{1\times 5}$

Số thứ hai: $\frac{1}{45}=\frac{1}{5\times 9}$

Số thứ ba: $\frac{1}{117}=\frac{1}{9\times 13}$

Như vậy mỗi số hạng trong tổng A đều có dạng $\frac{1}{x\times (x+4)}$

Số hạng thứ 100 sẽ có $x$ thỏa mãn:

$(x-1):4+1=100$

$(x-1):4=99$

$x=99\times 4+1=397$

Vậy số hạng thứ 100 là: $\frac{1}{397\times 401}$
b.

Tổng 100 số hạng:

$A=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+....+\frac{1}{397\times 401}$

$4\times A=\frac{5-1}{1\times 5}+\frac{9-5}{5\times 9}+\frac{13-9}{9\times 13}+....+\frac{401-397}{397\times 401}$

$4\times A=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+....+\frac{1}{397}-\frac{1}{401}$

$4\times A=1-\frac{1}{401}$

$A=\frac{1}{4}-\frac{1}{4\times 401}$

$\Rightarrow A< \frac{1}{4}$