a) Ta có: ∠EBC = ∠ECB = 150 => △EBC cân tại E

=> EB = EC

Ta có: ∠ABCD là hv => ∠ABC = ∠BCD = 90⁰

=> ∠ABE = ∠DCE = 900 + 150 = 1050

Xét △ABE và △DCE ta có:

EB = EC (cmt)

∠ABE = ∠DCE (cmt)

AB = CD (ABCD là hv)

Do đó, △ABE = △DCE (c.g.c)

=> EA = ED (2 cạnh tương ứng)

=> △AED cân tại E.

b) Ta có: ∠FDC = ∠FCD = 600 => △FCD cân tại F

=> FC = FD

Ta có: ∠ABCD là hv => ∠ADC = ∠BCD = 90⁰

=> ∠ADF = ∠BCF = 900 + 600 = 1500

Xét △ADF và △BCF ta có:

FC=FD (cmt)

∠ADF = ∠BCF (cmt)

AD = BC (ABCD là hv)

Do đó, △ADF = △BCF (c.g.c)

=>AF = BF (2 cạnh tương ứng)

=> △ABF cân tại F.

bạn là đội tuyển toán ak?

Bạn từ chứng minh BĐT đầu bài.

a) Áp dụng: \(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}\) 

\(=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

b) Với abc = 1. Ta viết BĐT lại thành:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)

Sử dụng cách chứng minh ở câu a.

c) Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\) thì xyz = 1; x, y, z > 0. Đưa về chứng minh:

\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)

Cách chứng minh tương tự câu b.

a,

\(x^2+4y^2-x+4y+2=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+4\left(y^2+y+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+4\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x,y\)

b,

\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0-3\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)=0-3\left(-abc\right)=3abc\left(dpcm\right)\)

Cảm ơn bạn nhiều nha! ♥♥♥

a) Ta có: x² + 4x +5 = ( x² + 4x + 4 ) +1 =  (x+2)²  + 1  >= 1 >0 với mọi x

b) Ta có : 4x² - 4x +2 = ( 4x² - 4x +1 ) + 1 = (2x+1)²  > 0 với mọi x

c) Ta có : x² - 3x +4 = [x² - 2.(3/2)x + (9/4) ]+ (7/4) = ( x - 3/2 )² + 7/4 >0 với mọi x 

mấy câu sau lm tương tự: sử dụng hằng đẳng thức tách thành dạng một bình phương cộng vs 1 số 

a) x² + 4x + 5 = x² + 2 . 2x + 2² + 1 = (x + 2)² + 1\(\ge\)1 > 0

b) 4x² - 4x + 2 = (2x)² - 2 . 2x + 1 + 1 = (2x - 1)² + 1\(\ge\)1 > 0

c) x² - 3x + 4 = x² - 2 . 1,5x + 1,5² + 1,75 = (x - 1,5)² + 1,75 \(\ge\)1,75  > 0

d) x² - x + 1 = x² + 2 . 0,5x + 0,5² + 0,75 = (x + 0,5)² + 0,75\(\ge\)0,75  > 0

e) x² - 5x + 7 = x² - 2 . 2,5x + 2,5² + 0,75 = (x - 2,5)² + 0,75\(\ge\)0,75  > 0

Cách ngắn hơn ( nên làm cách này ) : 

Ta có : 

\(a>0\)

\(b>0\)

\(\Rightarrow\)\(ab>0\) \(\left(1\right)\)

Lại có : 

\(a^2\ge0\)

\(b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a^2=0\\b^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}}\)

Mà \(a>0\)\(;\)\(b>0\) nên dấu "=" không thể xảy ra 

\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2>0\) \(\left(2\right)\)

Cộng theo vế (1) và (2) ta được : 

\(a^2+ab+b^2>0\) ( đpcm ) 

Vậy nếu \(a>0\)\(;\)\(b>0\) thì \(a^2+ab+b^2>0\)

Chúc bạn học tốt ~ 

đề yêu cầu chứng minh cái gì vậy bạn?

Bài làm

a) Đặt a³ + b³ - ab² - a²b = 0

<=> ( a + b )( a² + ab + b² ) - ab( a + b ) = 0

<=> ( a + b )( a² + ab + b² - ab ) = 0

<=> ( a + b )( a² + b² ) = 0          _⁽¹⁾ 

Mà a² + b² > 0 

=> ( a + b )( a² + b² ) > 0            _⁽²⁾ 

Từ (1) và (2) => ( a + b )( a² + b² ) > 0 

Vậy a³ + b³ - ab² - a²b > 0 ( đpcm )

b) Đặt a⁵ + b⁵ - a⁴b - ab⁴ = 0

<=> ( a⁵ - a⁴b ) + ( b⁵ - ab⁴ ) = 0

<=> a⁴( a - b ) + b⁴( b - a ) = 0

<=> a⁴( a - b ) - b⁴( a - b ) = 0 

<=> ( a - b )( a⁴ - b⁴ ) = 0              _⁽¹⁾ 

Mà a⁴ - b⁴ = ( a² + b² )( a² - b² ) < 0

=> ( a - b )( a⁴ - b⁴ ) < 0                _⁽²⁾ 

Từ (1) và (2) => ( a - b )( a⁴ - b⁴ ) < 0

Vậy a⁵ + b⁵ - a⁴b - ab⁴ < 0 ( đpcm ) 

a, \(x^2-6x+10=x^2-2.x.3+3^2+1=\left(x-3\right)^2+1>0\)

=> đpcm

b, Đề sai

c, \(x^2+x+5=x^2+2.x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{19}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}>0\)

=> đpcm