O I K A E B H F C D G 1 1 2 2

a)

IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).

OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O)

IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K)

b)

Tứ giác AEHF có \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\)   nên là hình chứ nhật

c)

c) \(\Delta AHB\) vuông nên AE.AB = AH2

\(\Delta AHC\)vuông nên AF . AC = AH²

Suy ra AE . AB = AF . AC

d) Gọi G là giao điểm của AH và EF

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật => AH = EF

Ta có : GE = GH => \(\Delta GEH\)\(\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{H_1}\)

Ta lại có \(\Delta IHE\)cân \(\Rightarrow\widehat{E_2}=\widehat{H_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=\widehat{H_1}+\widehat{H_2}=90^o\)

Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

e) - Cách 1:

Ta có: \(EF=AH\le OA\) ( OA có độ dài không đổi )

Do đó EF lớn nhất khi AH = OA

<=> H trùng O hay dây AD đi qua O.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

a) AB và AC là tiếp tuyến của (O;R) =>AB⊥OB và AC⊥OC =>B và C nhìn OA góc 90° =>B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO hay A,B,C,) cùng nằm trên đường tròn đường kính AO.
Hai △AOB và △AOC là 2 tam giác vuông có chung cạnh huyền OA và 2 cạnh góc vuông OB=OC (cùng = R) => △AOB = △AOC =>OA là phân giác ∠BOC mà △BOC cân tại B =>OA là đường trung trực của BC.
b)xét △ODB và △OBA có 2 góc vuông tại D và B, chung góc nhọn tại O =>△ODB ∼ △OBA =>OD/OB=OB/OA =>OA.OD=OB²=R².

Đường tròn c: Đường tròn qua B_1 với tâm O Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [O, M] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [M, H] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [H, O] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [A, M] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [M, B] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [A, O] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [O, B] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [N, B] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [E, J_1] Đoạn thẳng e: Đoạn thẳng [N, E] Đoạn thẳng f_1: Đoạn thẳng [E, B] Đoạn thẳng g_1: Đoạn thẳng [A, E] O = (6.36, -0.08) O = (6.36, -0.08) O = (6.36, -0.08) Điểm M: Điểm trên f Điểm M: Điểm trên f Điểm M: Điểm trên f Điểm H: Giao điểm đường của f, g Điểm H: Giao điểm đường của f, g Điểm H: Giao điểm đường của f, g Điểm A: Giao điểm đường của c, h Điểm A: Giao điểm đường của c, h Điểm A: Giao điểm đường của c, h Điểm B: Giao điểm đường của c, i Điểm B: Giao điểm đường của c, i Điểm B: Giao điểm đường của c, i Điểm I: Giao điểm đường của g, j Điểm I: Giao điểm đường của g, j Điểm I: Giao điểm đường của g, j Điểm K: Giao điểm đường của j, k Điểm K: Giao điểm đường của j, k Điểm K: Giao điểm đường của j, k Điểm N: A đối xứng qua F Điểm N: A đối xứng qua F Điểm N: A đối xứng qua F Điểm E: Giao điểm đường của a, k Điểm E: Giao điểm đường của a, k Điểm E: Giao điểm đường của a, k Điểm J: Trung điểm của A, N Điểm J: Trung điểm của A, N Điểm J: Trung điểm của A, N

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có tam giác MAB cân tại M có MK là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy thì K là trung điểm AB hay \(AK=\frac{AB}{2}\)

Ta thấy các tam giác MHO, MAO, MBO đều là các tam giác vuông chung cạnh huyền MO nên M, H, A, O B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

b) Do K là trung điểm AB nên theo tính chất đường kính dây cung, ta có \(\widehat{IKO}=90^o\)

Suy ra \(\Delta IKO\sim\Delta MHO\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{OI}{OM}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OI.OH=OM.OK\)

Xét tam giác vuông MBO, đường cao BK, ta có: \(OK.OM=OB^2=R^2\)

Vậy nên \(OI.OH=OK.OM=R^2\)

c) Ta thấy do trung điểm của BN cắt OM tại E nên EN = EB

Lại có EB = EA vì OM là đường trung trực của AB

Suy ra EA = EN hay tam giác EAN cân tại E.

Gọi J là trung điểm AN.

Xét tam giác cân EAN có EJ là trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Vậy thì \(EJ\perp OA\) hay EJ // AM.

Xét tam giác OAM, áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{OE}{OM}=\frac{OF}{OA}=\frac{2}{3}\)

ta có: \(a+b+c+d=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c+d\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac+ad=0\)

\(\Leftrightarrow ad=-\left(a^2+ab+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow ad-bc=-\left(a^2+ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow ad-bc=-\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

c/m tương tự ta đc: \(ab-cd=-\left(a+c\right)\left(a+d\right)\)

                                \(ac-bd=-\left(a+b\right)\left(a+d\right)\)

\(\Rightarrow\left(ad-bc\right)\left(ab-cd\right)\left(ac-bd\right)=-\left(a+c\right)^2\left(a+b\right)^2\left(a+d\right)^2\)

                                                                            \(=\left[-\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+d\right)\right]^2\)

mà a;b;c;d là các số hữu tỉ nên:

\(-\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+d\right)\)là số hữu tỉ 

=> \(\left(ad-bc\right)\left(ab-cd\right)\left(ac-bd\right)\) là bình phương của 1 số hữu tỉ =>đpcm