Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hai BĐT đều có dấu "=" xảy ra
a/ \(\Leftrightarrow x^7-x^4y^3+y^7-x^3y^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x^3-y^3\right)-y^4\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x^3-y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
b/ Áp dụng câu a:
\(VT\le\sum\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b\right)+a^2b^2}=\sum\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a/
$x^2+y^2+z^2=3$
$F=\dfrac{x^2+1}{z+2}+\dfrac{y^2+1}{x+2}+\dfrac{z^2+1}{y+2}$
$\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+6}\qquad (\text{Titu})$
Đặt $t=x+y+z$.
Ta có $t^2\le 3(x^2+y^2+z^2)=9$
$\Rightarrow t\le 3$.
Xét $f(t)=\dfrac{t^2}{t+6}$ thì $f'(t)=\dfrac{t(t+12)}{(t+6)^2}>0$ nên $f(t)$ tăng trên $(0,+\infty)$.
Mặt khác $t\ge \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt3$.
Suy ra $F\ge f(\sqrt3)=\dfrac{3}{6+\sqrt3}$ $=\dfrac{6-\sqrt3}{11}$.
Dấu bằng khi $x=y=z=1$.
$\boxed{\min F=\dfrac{6-\sqrt3}{11}}$.
b/
Đặt $S=\sqrt{\dfrac{a}{a+3}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+3}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+3}}.$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, $S^2\le (a+b+c)\left(\dfrac1{a+3}+\dfrac1{b+3}+\dfrac1{c+3}\right)$.
Lại có $(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)=9$
$\Rightarrow a+b+c\ge 3$.
Theo bất đẳng thức Nesbitt dạng Engel,
$\dfrac1{a+3}+\dfrac1{b+3}+\dfrac1{c+3}\le \dfrac1{6}(3)=\dfrac12.$
Do đó $S^2\le \dfrac32$
$\Rightarrow S\le \sqrt{\dfrac32}<\dfrac32$.
Suy ra $\sqrt{\dfrac{a}{a+3}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+3}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+3}}\le \dfrac32.$
a)
$3^x-y^3=1$
$\Leftrightarrow 3^x=y^3+1$
$\Leftrightarrow 3^x=(y+1)(y^2-y+1)$
$\gcd(y+1,y^2-y+1)=\gcd(y+1,3)$
Vì $3^x$ chỉ có ước nguyên tố là $3$ nên
$y+1=3^m,\quad y^2-y+1=3^n\qquad (m,n\in\mathbb N,\ m+n=x)$
Ta có $y^2-y+1-(y+1)(y-2)=3$ nên $\gcd(y+1,y^2-y+1)\mid 3$
Suy ra $\gcd(y+1,y^2-y+1)=1$ hoặc $3$.
Nếu $\gcd=1$ thì $y+1=1$
$\Rightarrow y=0$
$\Rightarrow 3^x=1$
$\Rightarrow x=0$.
Nếu $\gcd=3$ thì $3\mid y+1$
$\Rightarrow y\equiv2\pmod3$
$\Rightarrow y^2-y+1\equiv4-2+1\equiv3\equiv0\pmod3$
Lại có $y^2-y+1=(y+1)^2-3y$ nên $9\nmid (y^2-y+1)$
Suy ra $y^2-y+1=3$
$\Rightarrow y^2-y-2=0$
$\Rightarrow y=2$.
Khi đó $3^x=2^3+1=9$ $\Rightarrow x=2$.
Vậy $\boxed{(x,y)=(0,0)\ \text{hoặc}\ (2,2).}$
b/
$a+b+c=0$
$\Rightarrow c=-(a+b)$
$ab+2c^2=ab+2(a+b)^2$
$=2a^2+5ab+2b^2$
$=(2a+b)(a+2b)$
Tương tự $bc+2a^2=(2a+b)(a-b)$
$ca+2b^2=(a+2b)(b-a)$
Suy ra $(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$
$=(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)(b-a)$
$=-(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$ $\le 0$
Do đó $N=1-(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$$=1+(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$
$\ge 1$$>0$
=> N là số dương.