Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b: \(M=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}=\dfrac{a+b+c}{abc}=0\)
c: \(B=\dfrac{y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}-\dfrac{z}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}-\dfrac{x}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)}\)
\(=\dfrac{y\left(x-z\right)-z\left(x-y\right)-x\left(y-z\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)
\(=\dfrac{xy-yz-xz+zy-xy+xz}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}=0\)
1, Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\) (1)\(\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow y^2-2y+1\ge0\Leftrightarrow y^2+1\ge2y\) (2)\(\left(z-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow z^2-2z+1\ge0\Leftrightarrow z^2+1\ge2z\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm
5. a, Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\) (1)
\(\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow y^2-2y+1\ge0\Leftrightarrow y^2+1\ge2y\) (2)
\(\left(z-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow z^2-2z+1\ge0\Leftrightarrow z^2+1\ge2z\) (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
mà x+y+z=3
=>\(x^2+y^2+z^2+3\ge2.3=6\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge6-3=3\)
<=> \(A\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy GTNN của A=x2+y2+z2 là 3 khi x=y=z=1
b, Ta có: x+y+z=3
=> \(\left(x+y+z\right)^2=9\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=9\)
<=> \(x^2+y^2+z^2=9-2xy-2yz-2xz\)
mà \(x^2+y^2+z^2\ge3\) (theo a)
=> \(9-2xy-2yz-2xz\ge3\)
<=> \(-2\left(xy+yz+xz\right)\ge3-9=-6\)
<=> \(xy+yz+xz\le\dfrac{-6}{-2}=3\)
<=> \(B\le3\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy GTLN của B=xy+yz+xz là 3 khi x=y=z=1
a: \(\dfrac{y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}-\dfrac{z}{\left(y-z\right)\left(x-z\right)}-\dfrac{x}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)
\(=\dfrac{xy-yz-xz+yz-xy+xz}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)
=0
c: \(=\dfrac{1}{x\left(x-y\right)\left(x-z\right)}-\dfrac{1}{y\left(y-z\right)\left(x-y\right)}+\dfrac{1}{z\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(=\dfrac{zy\left(y-z\right)-xz\left(x-z\right)+xy\left(x-y\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)
\(=\dfrac{zy^2-z^2y-x^2z+xz^2+xy\left(x-y\right)}{xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)
\(=\dfrac{1}{xyz}\)
Bài 1 rút gọn bc tự làm :
\(B=\dfrac{3y^3-7y^2+5y-1}{2y^3-y^2-4y+3}\)
\(B=\dfrac{3x^3-3y^2-4y^2+4y+y-1}{2y^3-2y^2+y^2-y+3y-3}\)
\(B=\dfrac{3y^2\left(y-1\right)-4y\left(y-1\right)+\left(y-1\right)}{2y^2\left(y-1\right)+y\left(y-1\right)-3\left(y-1\right)}\)
\(B=\dfrac{\left(3y^2-4y+1\right)\left(y-1\right)}{\left(2y^2+y-3\right)\left(y-1\right)}\)
\(B=\dfrac{3y^2-3y-y+1}{2y^2-2y+3y-3}=\dfrac{3y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)}{2y\left(y-1\right)+3\left(y-1\right)}\)
\(B=\dfrac{\left(3y-1\right)\left(y-1\right)}{\left(3y+2\right)\left(y-1\right)}=\dfrac{3y-1}{3y+2}\)
Bài 2 )
a ) \(x+\dfrac{1}{x}=3\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=9\)
\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=1\)
b ) \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=27\)
\(\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{3}{x}+3x=27\)
\(\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}+3\left(\dfrac{1}{x}+x\right)=27\)
\(\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\)
2b)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
<=> \(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
<=> (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc
<=> (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=0
<=> (a+b)(b+c)(c+a) = 0
<=> a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
<=> a=-b hoặc b=-c hoặc c = -a
sau đó thay vào cái cần c/m
a. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$:
Từ giả thiết: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$
Quy đồng mẫu thức:
$\Rightarrow \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0$
$\Rightarrow xy + yz + zx = 0$
Khai triển tử thức của $A$:
$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz$
Thay $xy + yz + zx = 0$ vào biểu thức trên:
$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z) \cdot 0 - xyz = -xyz$
Do đó: $A = \frac{-xyz}{xyz} = -1$
Vậy $A = -1$.
b. Chứng minh $A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}$ là bình phương của một số hữu tỉ:
Đặt $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$.
Ta có: $x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$.
Xét đẳng thức:
$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2\left(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}\right)$
Biến đổi phần trong ngoặc kép:
$\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = \frac{z + x + y}{xyz}$
Vì $x + y + z = 0$ nên $\frac{z + x + y}{xyz} = 0$.
Suy ra:
$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}$
Thay lại $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$:
$A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}\right)^2$
Vì $a, b, c$ là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một nên $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}$ là một số hữu tỉ.
Vậy $A$ là bình phương của một số hữu tỉ (điều phải chứng minh).
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B = \frac{5x^2 + 4x - 1}{x^2}$ (với $x \ne 0$):
Tách biểu thức $B$:
$B = \frac{5x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 5 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}$
Đặt $t = \frac{1}{x}$ ($t \ne 0$), biểu thức $B$ trở thành:
$B = -t^2 + 4t + 5$
Biến đổi về dạng bình phương:
$B = -(t^2 - 4t + 4) + 9$
$= -(t - 2)^2 + 9$
Vì $(t - 2)^2 \ge 0$ với mọi $t$ nên $-(t - 2)^2 \le 0$ với mọi $t$.
$\Rightarrow B \le 9$
Dấu "=" xảy ra khi:
$t - 2 = 0 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn $x \ne 0$).
Vậy giá trị lớn nhất của $B$ bằng $9$, đạt được khi $x = \frac{1}{2}$.