Xét △ ABC và  △  BCD:

AB = BC (gt)

∠ B = ∠ C (gt)

BC = CD (gt)

Do đó:  △  ABC =  △  BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Xét  △  BCD và  △  CDE:

BC = CD (gt)

∠ C =  ∠ D (gt)

CD = DE (gt)

Do đó:  △  BCD =  △  CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2)

Xét  △ CDE và  △  DEA:

CD = DE (gt)

∠ D =  ∠ E (gt)

DE = EA (gt)

Do đó:  △  CDE =  △  DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3)

Xét △  DEA và  △  EAB:

DE = EA (gt)

∠ E =  ∠ A (gt)

EA = AB (gt)

Do đó:  △  DEA =  △  EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB

Trong  △  ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong  △  CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = 1/2 CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong  △  DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = 1/2 DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong  △  EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = 1/2 EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có:  ∠ A =  ∠ B =  ∠ C =  ∠ D =  ∠ E = ((5-2 ). 180 0 )/5 =  108 0

△  DPN cân tại D

⇒ ∠ (DPN) =  ∠ (DNP) = ( 180 0 -  ∠ D )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

△  CNM cân tại C

⇒  ∠ (CNM) =  ∠ (CMN) = ( 180 0 -  ∠ D )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

∠ (ADN) +  ∠ (PNM) +  ∠ (CNM) =  180 0

⇒  ∠ (PNM) =  180 0  - ( ∠ (ADN) +  ∠ (CNM) )

            = 180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

△  BMR cân tại B

⇒  ∠ (BMR) =  ∠ (BRM) = ( 180 0 -  ∠ B )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

∠ (CMN) +  ∠ (BRM) +  ∠ (BMR) =  180 0

⇒  ∠ (NMR) =  180 0  - ( ∠ (CMN) +  ∠ (BMR) )

            =  180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

△  ARQ cân tại A

⇒  ∠ (ARQ) =  ∠ (AQR) = ( 180 0 -  ∠ A )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

∠ (BRM) +  ∠ (MRQ) +  ∠ (ARQ) =  180 0

⇒  ∠ (MRQ) =  180 0  - ( ∠ (BRM) +  ∠ (ARQ) )

            = 180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

△  QEP cân tại E

⇒  ∠ (EQP) =  ∠ (EPQ) = ( 180 0 -  ∠ E )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

∠ (AQR) + ∠ (RQP) +  ∠ (EQP) =  180 0

⇒  ∠ (RQP) =  180 0  - ( ∠ (AQR) +  ∠ (EQP) )

            =  180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

∠ (EQP) +  ∠ (QPN) +  ∠ (DPN) =  180 0

⇒  ∠ (QPN) =  180 0  - ( ∠ (EPQ) +  ∠ (DPN) )

            =  180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

Suy ra :  ∠ (PNM) =  ∠ (NMR) =  ∠ (MRQ) =  ∠ (RQP) =  ∠ (QPN)

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.

Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC= CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM (gt)

∠ A =  ∠ B = 90 0

AP = BQ (gt)

Do đó: △ APQ =  △  BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1)

Xét  △  BQM và  △ CMN:

BM = CN (gt)

∠ B =  ∠ C =  90 0

BQ = CM (gt)

Do đó:  △  BQM =  △ CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2)

Xét  △  CMN và  △  DNP:

CN = DP (gt)

∠ C =  ∠ D =  90 0

CM = DN (gt)

Do đó:  △ CMN =  △ DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM

nên tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên  △ APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên  △ BMQ vuông cân tại B

⇒  ∠ (AQP) =  ∠ (BQM) = 45 0

∠ (AQP) +  ∠ (PQM) +  ∠ (BQM) =  180 0  (kề bù)

⇒  ∠ (PQM) =  180 0  - ( ∠ (AQP) +  ∠ (BQM) )

            =  180 0 - ( 45 0  + 45 0 ) =  90 0

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

Ta có: M là trung điểm của BC

N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của Δ ABC ⇒ MN = 1/2 AB

Ta có: P là trung điểm của AB nên MP là đường trung bình của  △ ng bình của △ ABC ⇒ NP = 1/2 BC

Mà AB = BC = AC (gt) ⇒ MN = MP = NP. Vậy  △  MNP đều

a) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)(1)

Xét ΔADC có 

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm của CD

Do đó: QP là đường trung bình của ΔADC

Suy ra: QP//AC và \(QP=\dfrac{AC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//QP và MN=QP

Xét tứ giác MNPQ có 

MN//QP(cmt)

MN=QP(cmt)

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Xét ΔABD có 

Q là trung điểm của AD

M là trung điểm của AB

Do đó: QM là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: QM//DB và \(QM=\dfrac{DB}{2}\)

hay \(QM=\dfrac{AC}{2}\)(3)

Từ (2) và (3) suy ra QM=QP

Hình bình hành MNPQ có QM=QP(cmt)

nên MNPQ là hình thoi

a: Xét ΔMAD và ΔMBC có

MA=MB

\(\hat{MAD}=\hat{MBC}\) (ABCD là hình thang cân)

AD=BC

Do đó: ΔMAD=ΔMBC

=>MD=MC

=>ΔMCD cân tại M

b: ΔMCD cân tại M

mà MP là đường trung tuyến

nên MP⊥CD

Xét hình thang ABCD có

Q,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>QN là đường trung bình của hình thang ABCD
=>QN//AB//CD và \(QN=\frac{AB+CD}{2}\)

QN//CD

MP⊥CD

Do đó: MP⊥QN

c: Xét ΔABD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>MQ//BD và \(MQ=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>NP là đường trung bình của ΔCBD

=>NP//BD và \(NP=\frac{BD}{2}\)

MQ//BD

NP//BD

Do đó: MQ//NP

\(MQ=\frac{BD}{2}\)

\(NP=\frac{BD}{2}\)

Do đó: MQ=NP

Xét tứ giác MNPQ có

MQ//NP

MQ=NP

Do đó; MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có MP⊥NQ

nên MNPQ là hình thoi

d: Xét tứ giác AHDP có

Q là trung điểm chung của AD và HP

=>AHDP là hình bình hành

=>AH//DP và AH=DP

Xét tứ giác BKCP có

N là trung điểm chung của BC và KP

=>BKCP là hình bình hành

=>BK//CP và BK=CP

BK//CP

=>BK//CD

AH//DP

=>AH//CD

AH//CD

AB//CD
mà AH,AB có điểm chung là A

nên H,A,B thẳng hàng(1)

BK//CD

BA//CD
mà BK,BA có điểm chung là B

nên B,K,A thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra H,A,B,K thẳng hàng

Ta có: AH=DP

BK=CP

mà DP=CP

nên AH=BK

AH+AM=HM

BK+BM=MK

mà AH=BK và AM=BM

nên HM=MK

=>M là trung điểm của HK

Chứng minh được M Q = N P = 1 2 B D  

Chứng minh tam giác ABD đều, suy ra được MN = BN = NP  PD = DQ = QM

Chứng minh các góc của đa giác MBNPDQ bằng nhau và cùng bằng 120⁰.

Từ đó quy ra đa giác MBNPDQ là lục giác đều (ĐPCM).

tớ giải rồi , xem bên dưới nha

Xét ΔBAD có

M,Q lần lượt là tđiểm của AB và AD

nên MQ là đường trung bình

=>MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔBCD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB và CD

nên NP là đường trung bình

=>NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành(5)

Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA và BC

nên MN là đường trung bình

=>MN=AC/2=BD/2=MQ(3) và MN//AC
=>MN vuông góc với MQ(4)

Từ (3), (4)và (5) suy ra MNPQ là hình vuông

a: Xét ΔBAD có

M,Q lần lượt là tđiểm của AB và AD

nên MQ là đường trung bình

=>MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔBCD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB và CD

nên NP là đường trung bình

=>NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành(5)

Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA và BC

nên MN là đường trung bình

=>MN=AC/2=BD/2=MQ(3) và MN//AC
=>MN vuông góc với MQ(4)

Từ (3), (4)và (5) suy ra MNPQ là hình vuông