Lời giải:

Ta có: $S_{ABC}=\frac{h_a.a}{2}$

$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ theo công thức Heron.

$\Rightarrow \frac{h_a.a}{2}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\Leftrightarrow \frac{a\sqrt{p(p-a)}}{2}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{2}=\sqrt{(p-b)(p-c)}$

$\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+c-b)(a+b-c)}$

$\Rightarrow a^2=(a+c-b)(a+b-c)$$\Leftrightarrow a^2=a^2-(b-c)^2\Rightarrow (b-c)^2=0$

$\Rightarrow b=c$ hay $ABC$ là tam giác cân.

Bạn đùa tôi à

a: \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\frac12\cdot\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=-\frac14\left(3\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BA}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{-1}{3}\left(3\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)

=>\(\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BN}}=\frac{-1}{4}:\frac{-1}{3}=\frac34\)

=>B.M,N thẳng hàng

b: \(\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM}\)

\(=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{-5}{12}\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac14\left(-\frac53\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac25\cdot\overrightarrow{AC}=-2\left(\frac13\cdot\overrightarrow{AB}-\frac15\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac25\left(\frac{-5}{3}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

Do đó: \(\frac{\overrightarrow{IM}}{\overrightarrow{IJ}}=\frac14:\frac25=\frac58\)

=>I,M,J thẳng hàng

a: \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EC}\)

=>E nằm giữa A và C và AE=2/3EC

Ta có: AE+EC=AC(E nằm giữa A và C)

=>\(AC=\dfrac{2}{3}EC+EC=\dfrac{5}{3}EC\)

=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}EC}{\dfrac{5}{3}EC}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{5}{3}=\dfrac{2}{5}\)

=>\(AE=\dfrac{2}{5}AC\)

=>\(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\)

\(=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AC}\)

b: \(\left|\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}\right|=\left|\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IG}\right|\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IG}\\\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IG}-\overrightarrow{IA}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2\cdot\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{0}\\2\cdot\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}I\equiv G\\I\equiv A\end{matrix}\right.\)

\(\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1\)

\(\Leftrightarrow\cos2A+\cos2B+\cos2C+1=0\)

\(\Leftrightarrow2\cos\left(A+B\right)\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)

\(\Leftrightarrow2\cos\left(180^0-C\right)\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)

\(\Leftrightarrow-2\cos C\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)

\(\Leftrightarrow-2\cos C(\cos\left(A-B\right)-\cos C)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos C=0\\\cos\left(A-B\right)=\cos C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}C=90^0\\A-B=C\\A-B=-C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}C=90^0\\A=B+C\\A+C=B\end{matrix}\right.\)

Nếu \(A=B+C\Rightarrow A=B+C=\dfrac{180^o}{2}=90^o\) Tam giác ABC vuông tại A.

Nếu \(B=A+C\Rightarrow B=A+C=\dfrac{180^o}{2}=90^o\) Tam giác ABC vuông tại B.

Vậy, nếu \(\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1\) thì tam giác ABC là tam giác vuông.

Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MA}=-2\cdot\overrightarrow{MB}\)

=>M nằm giữa A và B sao cho MA=2MB

Ta có: MA+MB=AB

=>AB=MB+2MB=3MB

=>\(BM=\frac13BA;AM=\frac23AB\)

Ta có: \(\overrightarrow{NB}\cdot4+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NC}=-4\cdot\overrightarrow{NB}\)

=>N nằm giữa B và C sao cho NC=4NB

NC+NB=BC

=>BC=4NB+NB=5NB

=>\(\frac{CN}{CB}=\frac45\)

Ta có: \(-\overrightarrow{PC}+2\cdot\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{PC}=2\cdot\overrightarrow{PA}\)

=>A nằm giữa P và C sao cho PC=2PA

=>A là trung điểm của PC

=>PC=2AC

\(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\frac23\cdot\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CN}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\cdot\overrightarrow{CB}=2\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=2\cdot\overrightarrow{AC}-\frac45\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\cdot\overrightarrow{AB}=\frac65\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\cdot\overrightarrow{AB}=\frac65\cdot\left(\overrightarrow{AC}+\frac23\cdot\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\frac65\cdot\overrightarrow{PM}\)

=>P,N,M thẳng hàng

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{\left.0\right.}\)

=>\(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}\)

=>M là trung điểm của AB

\(2\cdot\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NC}=-2\cdot\overrightarrow{NA}=2\cdot\overrightarrow{AN}\)

=>N nằm giữa A và C sao cho NC=2NA

\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MI}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{MN}\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\left(-\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac16\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{DB}=k\cdot\overrightarrow{DC}\)

=>\(\overrightarrow{BD}=-k\cdot\overrightarrow{DC}\)

=>\(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=-k\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\left(-k+1\right)\)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(-k+1\right)\cdot\overrightarrow{DC}\)

=>\(\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{-k\cdot\overrightarrow{DC}}{\left(-k+1\right)\cdot\overrightarrow{DC}}=\frac{-k}{-k+1}=\frac{k}{k-1}\)

=>\(\overrightarrow{BD}=\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\left(1-\frac{k}{k-1}\right)\cdot\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac{-1}{k-1}\cdot\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{AC}\)

Để A,I,D thẳng hàng thì \(\frac{-1}{k-1}:\frac14=\frac{k}{k-1}:\frac16\)

=>\(\frac{-4}{k-1}=\frac{6k}{k-1}\)

=>6k=-4

=>\(k=-\frac23\)

A B C M E N F P D

Gọi AD là phân giác trong của \(\Delta\)ABC. Kéo dài DM cắt BE và CA lần lượt tại N và F, AN cắt BC tại P.

Dễ thấy \(\Delta\)ADB cân tại D có trung tuyến DM, suy ra DM là trung trực của AB

Do vậy ^DAN = ^DBN = 90^o suy ra AP vuông góc AD hay AP là phân giác ngoài của \(\Delta\)ABC

Từ đó \(\left(BCPD\right)=-1\). Áp dụng phép chiếu xuyên tâm N: \(\left(BCPD\right)\rightarrow\left(ECFA\right)\)

Khi đó (ECFA) là hàng điều hòa. Mà ^AMF = 90^o nên MA chính là phân giác của ^CME (đpcm).