Câu 1:

\(y=x^3-3x^2-2\Rightarrow y'=3x^2-6x\)

Gọi hoành độ của M là \(x_M\)

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M bằng 9 tương đương với:

\(f'(x_M)=3x_M^2-6x_M=9\)

\(\Leftrightarrow x_M=3\) hoặc $x_M=-1$

\(\Rightarrow y_M=-2\) hoặc \(y_M=-6\)

Vậy tiếp điểm có tọa độ (3;-2) hoặc (-1;-6)

Đáp án B

Câu 2:

Gọi hoành độ tiếp điểm là $x_0$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm là:

\(f'(x_0)=x_0^2-4x_0+3\)

Vì tt song song với \(y=3x-\frac{20}{3}\Rightarrow f'(x_0)=3\)

\(\Leftrightarrow x_0^2-4x_0+3=3\Leftrightarrow x_0=0; 4\)

Khi đó: PTTT là:

\(\left[{}\begin{matrix}y=3\left(x-0\right)+f\left(0\right)=3x+4\\y=3\left(x-4\right)+f\left(4\right)=3x-\dfrac{20}{3}\end{matrix}\right.\) (đt 2 loại vì trùng )

Do đó \(y=3x+4\Rightarrow \) đáp án A

Câu 3:

PT hoành độ giao điểm:

\(\frac{2x+1}{x-1}-(-x+m)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+(1-m)x+(m+1)=0\) (1)

Để 2 ĐTHS cắt nhau tại hai điểm pb thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta=(1-m)^2-4(m+1)> 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m-3> 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 3-2\sqrt{3}\\m>3+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với m nguyên và \(m\in (0;10)\Rightarrow m=7;8;9\)

Có 3 giá trị m thỏa mãn.

Mọi người giải nhanh giúp mình mấy câu này với ạ

Mọi người giúp mình giải mấy câu này với ạ

Câu 1: \(I = \int_{0}^{1} \frac{x+1}{x^2+2x+5} \, dx\)

Đặt \(u=x^2+2x+5\)

=>du=(2x+2)dx=2(x+1)dx

=>\(\left(x+1\right)\cdot\left(dx\right)=\frac{du}{2}\)

Khi x=0 thì u=5

Khi x=1 thì u=8

\(I = \int_{5}^{8} \frac{\frac{du}{2}}{u} = \frac{1}{2} \ln\vert{}u\vert{} \bigg\vert{}_{5}^{8} = \frac{1}{2} (\ln 8 - \ln 5) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{8}{5}\right)\)

=>a=2; b=8; c=5

P=a+b=10

Câu 2:

\(2x^2-3x-5\)

\(=2x^2-5x+2x-5=\left(2x-5\right)\left(x+1\right)\)

Đặt \(\frac{3x+4}{2x^2-3x-5}=\frac{3x+4}{\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}=\frac{A}{2x-5}+\frac{B}{x+1}\)

=>\(\frac{3x+4}{\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}=\frac{A\left(x+1\right)+B\left(2x-5\right)}{\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}\)

=>A(x+1)+B(2x-5)=3x+4

=>x(A+2B)+A-5B=3x+4

=>A+2B=3 và A-5B=4

=>A+2B-A+5B=3-4 và A+2B=3

=>7B=-1 và A=3-2B

=>\(B=-\frac17;A=3-2\cdot\frac{-1}{7}=3+\frac27=\frac{23}{7}\)

\(I = \int_{0}^{1} \left( -\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x+1} + \frac{23}{7} \cdot \frac{1}{2x-5} \right) dx\)

\(=\left[-\frac{1}{7}\ln\vert{}x+1\vert{}+\frac{23}{14}\ln\vert{}2x-5\vert{}\right]_0^1\)

\(=\left(-\frac{1}{7}\ln2+\frac{23}{14}\ln\vert{}-3\vert{}\right)-\left(-\frac{1}{7}\ln1+\frac{23}{14}\ln\vert{}-5\vert{}\right)\)

\(=-\frac{1}{7}\ln2+\frac{23}{14}\ln3-\frac{23}{14}\ln5\)

\(=\frac{23}{14}(\ln3-\ln5)-\frac{1}{7}\ln2=\frac{23}{14}\ln\left(\frac{3}{5}\right)-\frac{1}{7}\ln2\)

=>a=3; b=5; c=2

P=a-b+c

=3-5+2

=5-5

=0

a: \(y=-\frac13x^3+\frac12x^2-2x+1\)

=>y'=\(-\frac13\cdot3x^2+\frac12\cdot2x-2=-x^2+x-2\)

=>y'=\(-x^2+x-\frac14-\frac74=-\left(x-\frac12\right)^2-\frac74<0\forall x\)

=>Hàm số nghịch biến trên R

Vẽ đồ thị:

b: \(y=-x^3+3x^2-4\)

=>y'=\(-3x^2+3\cdot2x=-3x^2+6x=-3x\left(x-2\right)\)

đặt y'>0

=>-3x(x-2)>0

=>x(x-2)<0

=>0<x<2

=>Hàm số đồng biến trên (0;2)

Đặt y'<0

=>-3x(x-2)<0

=>x(x-2)>0

=>x>2 hoặc x<0

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;0); (2;+∞)

Vẽ đồ thị:

c: \(y=-\frac14x^4-\frac12\cdot x^2-\frac14\)

=>y'=\(-\frac14\cdot4x^3-\frac12\cdot2x=-x^3-x=-x\left(x^2+1\right)\)

Đặt y'>0

=>\(-x\left(x^2+1\right)>0\)

=>-x>0

=>x<0

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0)

Đặt y'<0

=>\(-x\left(x^2+1\right)<0\)

=>-x<0

=>x>0

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞)

Vẽ đồ thị:

d: \(y=x^4-x^2-2\)

=>y'=\(4x^3-2x=2x\left(2x^2-1\right)\)

\(=4x\left(x^2-\frac12\right)=4x\left(x-\frac{1}{\sqrt2}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt2}\right)\)

Đặt y'>0

=>\(x\left(x^2-\frac12\right)>0\)

TH1: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-\frac12>0\end{cases}\)

=>x>0 và \(x^2>\frac12\)

=>\(x>\frac{\sqrt2}{2}\)

TH2: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-\frac12<0\end{cases}\)

=>x<0 và \(x^2<\frac12\)

=>x<0 và \(-\frac{\sqrt2}{2}

=>\(-\frac{\sqrt2}{2}

vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(\frac{\sqrt2}{2};+\infty\right);\left(-\frac{\sqrt2}{2};0\right)\)

Đặt y'<0

=>\(x\left(x^2-\frac12\right)<0\)

TH1: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-\frac12>0\end{cases}\)

=>x<0 và \(x^2>\frac12\)

=>x<0 và \(\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt2}{2}\\ x<-\frac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.\)

=>\(x<-\frac{\sqrt2}{2}\)

TH2: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-\frac12<0\end{cases}\)

=>x>0 và \(x^2<\frac12\)

=>x>0 và \(-\frac{\sqrt2}{2}

=>\(0

Vậy: Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\frac{-\sqrt2}{2}\right);\left(0;\frac{\sqrt2}{2}\right)\)

Vẽ đồ thị:

a/ ĐKXĐ: \(x>\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-1}{\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-1}=mx\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-2x}{\sqrt{2x-1}}=mx\Leftrightarrow\frac{3x-2}{\sqrt{2x-1}}=m\)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a>0\Rightarrow x=\frac{a^2+1}{2}\Rightarrow\frac{3a^2-1}{2a}=m\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=\frac{3a^2-1}{2a}\) với \(a>0\)

\(f'\left(a\right)=\frac{12a^2-2\left(3a^2-1\right)}{4a^2}=\frac{6a^2+2}{4a^2}>0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến

Mặt khác \(\lim\limits_{a\rightarrow0^+}\frac{3a^2-1}{2a}=-\infty\); \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{3a^2-1}{2a}=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b/ ĐKXĐ: \(x\ge2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[4]{\left(x-1\right)^2}+4m\sqrt[4]{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\left(m+3\right)\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}=0\)

Nhận thấy \(x=2\) không phải là nghiệm, chia 2 vế cho \(\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}\) ta được:

\(\sqrt[4]{\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2}+4m\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}+m+3=0\)

Đặt \(\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}=a\) pt trở thành: \(a^2+4m.a+m+3=0\) (1)

Xét \(f\left(x\right)=\frac{x-1}{x-2}\) khi \(x>0\)

\(f'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(x-2\right)^2}< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{x-1}{x-2}=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x-1}{x-2}=1\) \(\Rightarrow f\left(x\right)>1\Rightarrow a>1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow m\left(4a+1\right)=-a^2-3\Leftrightarrow m=\frac{-a^2-3}{4a+1}\)

Xét \(f\left(a\right)=\frac{-a^2-3}{4a+1}\) với \(a>1\)

\(f'\left(a\right)=\frac{-2a\left(4a+1\right)-4\left(-a^2-3\right)}{\left(4a+1\right)^2}=\frac{-4a^2-2a+12}{\left(4a+1\right)^2}=0\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)

\(f\left(1\right)=-\frac{4}{5};f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{4};\) \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{-a^2-3}{4a+1}=-\infty\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\le-\frac{3}{4}\Rightarrow m\le-\frac{3}{4}\)