A chia hết cho 2 sẵn rồi 

CM A chia hết cho 30:

\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+2^4\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+....+2^{96}\left(2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=30.\left(1+2^4+...+2^{96}\right)⋮30\)

Gợi ý;

B chia hết cho 5 sắn rồi

chia hết cho 6 nhóm 2 số vào

Chi hết cho 31 nhóm 3 số vào

B1 a, a^3 - a = a.(a^2-1) = (a-1).a.(a+1) chia hết cho 3 

b, a^7-a = a.(a^6-1) = a.(a^3-1).(a^3+1)

Ta thấy số lập phương khi chia 7 dư 0 hoặc 1 hoặc 6

+Nếu a^3 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 1 thì a^3-1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 6 => a^3+1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

Vậy a^7-a chia hết cho 7

b,  a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6

1) Chứng minh \(ab\) chia hết cho \(6\)

Vì $a$ chia cho $6$ dư $2$ nên $a=6k+2$ (k thuộc Z).

Vì $b$ chia cho $6$ dư $3$ nên $b=6m+3$ (k thuộc Z).

Ta có:

$ab=(6k+2)(6m+3)$

$=36km+18k+12m+6$

$=6(6km+3k+2m+1)$

Vậy $ab$ chia hết cho $6$.

a)

= 2 ( 1 + 2) + 2²(1 +2) +.........+ 2²⁰¹⁵91 +2)

= 3( 2 + 2² +........+ 2²⁰¹⁵) nên chia hết cho 3

b)

= 2( 1 + 2 + 2²) + 2³( 1 + 2 +2²) +......+ 2²⁰¹⁴( 1 + 2 +2²)

= 7( 2 + 2³ + .........+ 2²⁰¹⁴) nên chia hết cho 7

chia hết cho con cờ

Ta có:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) + ... + 2⁹⁹(1 + 2)

A = 3 × (2 + 2³ + ... + 2⁹⁹)

Vì 2 + 2³ + ... + 2⁹⁹ là số chẵn nên A chia hết cho 6.

Mặt khác:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰

A = 2(1 + 2 + 2² + ... + 2⁹⁹)

Vì \(2^4=16\) và \(2^4-1=15\), ta có thể xét theo modulo 30:

\(2^4\equiv16\pmod{30}\).

Tuy nhiên, A không chia hết cho 30 vì A có số dư 2 khi chia cho 5.

Vậy đề bài phần a có thể bị nhầm: A chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 30.

Ta có:

B = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁹⁶

B = 5(1 + 5 + 5² + ... + 5⁹⁵)

Vì 5 không chia hết cho 6 nên cần kiểm tra lại đề bài. Thực tế B không chia hết cho 6.

Ta có:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰

A = 2(2¹⁰⁰ - 1)

A = 2¹⁰¹ - 2

Với B:

B = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁹⁶

B = 5(5⁹⁶ - 1) : (5 - 1)

B = \(\dfrac{5^{97}-5}{4}\)

Với C:

C = 2¹⁰⁰ - 2⁹⁹ + 2⁹⁸ - 2⁹⁷ + ... + 2² - 2

C = (2¹⁰⁰ - 2⁹⁹) + (2⁹⁸ - 2⁹⁷) + ... + (2² - 2)

C = 2⁹⁹ + 2⁹⁷ + ... + 2

C = 2(1 + 2² + 2⁴ + ... + 2⁹⁸)

C = \(\dfrac{2(2^{100}-1)}{3}\)