9. Chứng minh tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.

Gọi ba số nguyên liên tiếp là \(\hept{\begin{cases}x-1\\x\\x+1\end{cases}}\left(x\inℤ\right)\)

=> Lập phương của ba số đó lần lượt là \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^3\\x^3\\\left(x+1\right)^3\end{cases}}\)

Ta có:

\(\left(x-1\right)^3+x^3+\left(x+1\right)^3\)

\(=\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+x^3+\left(x^3+3x^2+3x+1\right)\)

\(=x^3-3x^2+3x-1+x^3+x^3+3x^2+3x+1\)

\(=(x^3+x^3+x^3)+(-3x^2+3x^2)+(3x+3x)+(-1+1)\)

\(=3x^3+6x\)

\(=3x^3-3x+9x\)

\(=3x.(x^2-1)+9x\)

\(=3.(x-1).x(x+1)+9x\)

Ta có: \(9x⋮9\)

Mà: \(\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)\) là ba số nguyên liên tiếp, trong đó có ít nhất một số phải chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow3.\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)⋮9\)

Vậy \(3.\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)+9x⋮9\)

11.

a. Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương.

Giả sử A và B là hai số nguyên thoả mãn điều kiện

\(\hept{\begin{cases}A=a^2+b^2\\B=c^2+d^2\end{cases}\left(a,b,c,d\inℤ\right)}\)

\(\Rightarrow AB=\left(a^2+b^2\right).\left(c^2+d^2\right)\)

\(=a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2+a^2d^2\)

\(=a^2c^2+2acbd+b^2d^2+a^2d^2-2adbc+b^2c^2\)

\(=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\)

b. Chứng minh rằng tổng các bình phương của k số nguyên liên tiếp (k = 3, 4, 5) không là số chính phương.

Trường hợp 1:  \(k=3\)

Gọi ba số nguyên liên tiếp là \(\hept{\begin{cases}n-1\\n\\n+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\) \((n-1)^2+n^2+(n+1)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(3n^2+2:3\) dư \(1\)

Vậy không phải là số chính phương

Trường  hợp 2: \(k=4\)

Gọi bốn số đó là \(n-2;n-1;n;n+1\)

\(\Leftrightarrow\) \((n-2)^2 + (n -1)^2 + n^2 + (n+1)^2 \)

\(\Leftrightarrow\) \(4n^2-4n+6\) chia hết cho \(6\) nhưng không chia hết cho \(4\)

Vậy không phải là số chính phương

Trường hợp 3: \(k=5\)

Gọi năm số đó là \(n-2;n-1;n;n+1;n+2\)

\(\Leftrightarrow\) \((n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(5n^2+10\) chia hết cho \(5\) nhưng không chia hết cho \(25\)

Vậy không phải là số chính phương

7. Chứng minh rằng:

\(x²+5y²+2x-10y+14\)

\(=(x²+2x+1)+5(y²-2y+1)+8\)

\(=(x+1)²+5(y-1)²+8≥8\)

\(\Rightarrow\) \((x+1)²+5(y-1)²+8>0\)

\(\Rightarrow\) \(x²+5y²+2x-10y+14>0\)

6. Chứng minh rằng:

\(x^2+xy+y^2+1\)

\(=x^2+2x.\frac{1}{2}y+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}+1\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1>0\)

\(x^2+4y^2+z^2-2x-6z+8y+15\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+4.\left(y^2+2y+1\right)+\left(z^2-6x+9\right)+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+4.\left(y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+1>0\)

8. Tổng ba số bằng 9, tổng bình phương của chúng bằng 53. Tính tổng các tích của hai số trong ba số ấy.

Xét các bình phương:

\(9^2=81>53\) (Loại)

\(8^2=64>53\) (Loại)

Ta có: \(7^2=49\)

Vì tổng bình phương của ba số là 53 \(\Rightarrow53-49=4\)

\(4=2^2\)

Vậy số thứ nhất là 7, số thứ hai là 2, số thứ ba là 0

Tổng các tích của hai số trong ba số: \(7.0+2.0+7.2=14\)

10. Rút gọn biểu thức

\(A=\left(3+1\right).\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(A=4.\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(2A=8.\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(2A=\left(3^2-1\right).\left(3^2+1\right).\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(2A=\left(3^4-1\right).\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

\(2A=\left(3^{64}-1\right).\left(3^{64}+1\right)\)

\(A=\frac{3^{128}-1}{2}\)