Xét 100000 số:\(2003^{a_1};2003^{a_2};...;2003^{a_{100000}}\)

Ta có:Mọi số khi chia cho 10^5 thì sẽ có 99999 TH dư(ko tính TH chia hết)

Mà ở trên có 100000 số nên theo nguyên lí Đi-rích-lê thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 10^5.Khi đó hiệu cuer chúng chia hết cho 10^5

Gọi 2 số đó là:\(2003^{a_m};2003^{a_n}\left(a_m,a_n\inℕ^∗/1\le a_n< a_m\le100000\right)\)

\(\Rightarrow2003^{a_m}-2003^{a_n}⋮10^5\Rightarrow2003^{a_n}.\left(2003^{a_m-a_n}-1\right)⋮10^5\)

Mà \(\left(2003^{a_n};10^5\right)=1\)

\(\Rightarrow2003^{a_m-a_n}-1⋮10^5\)

Vậy tồn tại \(b\inℕ^∗\)sao cho \(2003^b-1⋮10^5\left(đpcm\right)\)

10^k - 1 chia hết cho 19 nên 10^k = 19m + 1

k cho mik nha Hiền xinh đẹp ^_<

a, Vì \(\hept{\begin{cases}120a⋮12\\36b⋮12\end{cases}\Rightarrow120a+36b⋮12}\)

b, 5⁷ - 5⁶ + 5⁵ = 5⁵(5² - 5 + 1) = 5².21 \(⋮\)21

c, 5²⁰⁰³ + 5²⁰⁰² + 5²⁰⁰¹ = 5²⁰⁰¹(5²+5+1) = 5²⁰⁰¹.31 \(⋮\)31

d, 10¹⁹ + 10¹⁸ + 10¹⁷ = 10¹⁶(10³+10²+10) = 10¹⁶.1110 = 10¹⁶.2.555 \(⋮\)555

Câu b:

B = 3^4n+1 + 2

B = (3^4)^n.3 + 2

B = \(\overline{..1}\)^n.3 + 2

B = \(\overline{..1}\).3 + 2

B = \(\overline{..3}\) + 2

B = \(\overline{..5}\)

Vậy B chia hết cho 5 (đpcm)

Câu c:

C = 2\(^{4n+1}\) + 3

C = (2^4)^n.2 + 3

C = \(\overline{..6}^{n}.2+3\)

C = \(\overline{..6}\).2 + 3

C = \(\overline{..2}\) + 3

C = \(\overline{..5}\)

Vậy C chia hết cho 5(đpcm)

Câu b:

B = 3\(^{4n+1}\) + 2

B = (3\(^4\))\(^{n}\).3 + 2

B = \(\overline{..1}^{n}\).3 + 2

B = \(\overline{..1}\).3 + 2

B = \(\overline{..3}\) + 2

B = \(\overline{..5}\)

B chia hết cho 5 (đpcm)

Câu c:

C = 2\(^{4n+1}\) + 3

C = (2\(^4\))\(^{n}\).2 + 3

C = \(\overline{..6}^{n}\).2 + 3

C = \(\overline{..6}\).2 + 3

C = \(\overline{..2}\) + 3

C = \(\overline{..5}\)

C chia hết cho 5(đpcm)

ta có \(S=\left(5^1+5^4\right)+\left(5^2+5^5\right)+...+\left(5^{93}\right)\)\(^3\)\(+5^{96}\))

=5(1+5^3)+5^2(1+5^3)+...+5^93(1+5^3)

=126(5+5^2+...+5^93)

=> S chia hết cho 26

b) s có tận cùng là 0