Coi lại đề, giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất vậy >.<

1. Tương đương \(\frac{3}{1+abc}-\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{1+abc}-\frac{1}{1+a^2}\right)+\left(\frac{1}{1+abc}-\frac{1}{1+b^2}\right)+\left(\frac{1}{1+abc}-\frac{1}{1+c^2}\right)\ge0\)

Quy đồng hết lên, kiên trì 1 chút, bạn sẽ thấy điều bất ngờ :V

2. \(M=\frac{3x^2+6x+10}{x^2+2x+3}\)

\(M=\frac{3x^2+6x+9+1}{x^2+2x+3}\)

\(M=\frac{3x^2+6x+9}{x^2+2x+3}+\frac{1}{x^2+2x+3}\)

\(M=3+\frac{1}{x^2+2x+3}\)

\(M=3+\frac{1}{\left(x+1\right)^2+2}\)

Để M có GTLN thì

\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2+2}\) có GTLN

hay có GTNN

Ta có:

Suy ra GTNN của \(\left(x+1\right)^2+2=2\) khi \(x=-1\)

Suy ra: GTLN của \(M=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\) khi \(x=-1\)

\(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)(*)

Với n=1, ta có (*) luôn đúng

Giả sử (*) đúng với n=k ta có:

\(1^2+2^2+...+k^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) (1)

Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n=k+1, thật vậy từ (1) suy ra:

\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)

\(=\left(k+1\right)\left[\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)\right]\)\(=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+4k+3k+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)

Theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*

Vậy ta có điều phải chứng minh

\(\left(2x-\frac{1}{3}\right)^3=8x^3-4x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{27}\)

Hệ số của x² là  - 4.

chỉ cần giảng cho mik cái đề, mik ko hỉu vì mik chưa gặp qua bao giờ

a) Ta có : \(f\left(x\right)+3f\left(\frac{1}{3}\right)=x^2\left(1\right)\Rightarrow f\left(\frac{1}{3}\right)+3f\left(\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^2\Leftrightarrow4f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{36}\)

Thay f(\(\frac{1}{3}\)) = \(\frac{1}{36}\) vào (1) được : \(f\left(x\right)=x^2-3f\left(\frac{1}{3}\right)=x^2-\frac{1}{12}\)

Vậy \(f\left(x\right)=x^2-\frac{1}{12}\)

b) \(f\left(x\right)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=2x+\frac{1}{x}\)  (2) . Thay \(x=\frac{1}{x}\) vào \(f\left(x\right)\) và \(f\left(\frac{1}{x}\right)\) được :

\(f\left(\frac{1}{x}\right)+2f\left(x\right)=\frac{2}{x}+x\) \(\Leftrightarrow2f\left(\frac{1}{x}\right)+4f\left(x\right)=\frac{4}{x}+2x\) (3)

Lấy (3) trừ (2) theo vế được: \(\left[2f\left(\frac{1}{x}\right)+4f\left(x\right)\right]-\left[f\left(x\right)+2f\left(\frac{1}{x}\right)\right]=\left(2x+\frac{4}{x}\right)-\left(2x+\frac{1}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow3f\left(x\right)=\frac{3}{x}\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{x}\)

c) \(f\left(x\right)+2f\left(-x\right)=x+1\) (4)  . Thay x = -x vào f(x) và f(-x) được : 

\(f\left(-x\right)+2f\left(x\right)=-x+1\Leftrightarrow2f\left(-x\right)+4f\left(x\right)=-2x+2\) (5)

Lấy (5) trừ (4) theo vế được : 

\(\left[2f\left(-x\right)+4f\left(x\right)\right]-\left[f\left(x\right)+2f\left(-x\right)\right]=\left(-2x+2\right)-\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3f\left(x\right)=-3x+1\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{-3x+1}{3}\)