Điều kiện: \(x\ge-1\)

PT \(\Rightarrow-2x-2\le x^2-2x-3\le2x+2\)

+) Xét \(x^2-2x-3\ge-2x-2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

+) Xét \(x^2-2x-3\le2x+2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge5\end{matrix}\right.\)

 \(\Rightarrow x\in(-\infty;-1]\cup[-5;+\infty)\)

a, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(2\left(2m^2-3m-5\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-5\right)\left(m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< \dfrac{5}{2}\)

b, TH1: \(m^2-3m+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

TH2: \(m^2-3m+2\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne2\end{matrix}\right.\)

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(-5\left(m^2-3m+2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m>2\) hoặc \(m< 1\)

c, Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) khi \(m^2-2m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)

Theo định lí Viet: \(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(x_1+x_2< 0\Leftrightarrow2\left(m-1\right)< 0\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy \(0< m< 1\)

|\(\left|4x-1\right|-3\) |-|x-5|=1(1)

TH1: x<1/4

(1) sẽ trở thành: \(\left|1-4x-3\right|-\left(5-x\right)=1\)

=>\(\left|-4x-2\right|=1+5-x=-x+6\)

=>|4x+2|=-x+6

=>\(\begin{cases}-x+6\ge0\\ \left(4x+2\right)^2=\left(-x+6\right)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-x\ge-6\\ \left(4x+2+x-6\right)\left(4x+2-x+6\right)=0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\le6\\ \left(5x-4\right)\left(3x+8\right)=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x<\frac14\\ x\in\left\lbrace\frac45;-\frac83\right\rbrace\end{cases}\Rightarrow x=-\frac83\)

TH2: 1/4<=x<5

(1) sẽ trở thành:

\(\left|4x-1-3\right|-\left(5-x\right)=1\)

=>\(\left|4x-4\right|=1+5-x=6-x\)

=>\(\begin{cases}\left(4x-4\right)^2=\left(6-x\right)^2\\ 6-x\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(4x-4-6+x\right)\left(4x-4+6-x\right)=0\\ -x\ge-6\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\left(5x-10\right)\left(3x+2\right)=0\\ x\le6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\in\left\lbrace2;-\frac23\right\rbrace\\ \frac14\le x<5\end{cases}\)

=>x=2

TH3: x>=5

(1) sẽ trở thành:

\(\left|4x-1-3\right|-\left(x-5\right)=1\)

=>|4x-4|=1+x-5=x-4

x>=5

=>4x>=20

=>4x-4>=16

Do đó: 4x-4=x-4

=>3x=0

=>x=0(loại)

\(\Leftrightarrow\left|2x+4\right|-\left|1-x\right|=-3\)

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\neq 2$

PT $\Rightarrow x^2-1=x|x-2|$

Nếu $x>2$ thì pt trở thành: $x^2-1=x(x-2)=x^2-2x$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}< 2$  (loại)

Nếu $x< 2$ thì pt trở thành: $x^2-1=x(2-x)=2x-x^2$

$\Leftrightarrow 2x^2-2x-1=0$

$\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$ (đều tm)

Ta có :

\(\left|2x-1\right|=\left|2x+3\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=2x+3\\2x-1=-2x-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-2x=3+1\\2x+2x=-3+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0=4\left(loại\right)\\4x=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}\)

Vậy ...

\(\left|2x-1\right|=\left|2x+3\right|\)

\(\Rightarrow\left|2x-1\right|=2x+3\)

\(\Rightarrow2x-1=2x+3\) hoặc \(2x-1=-\left(2x+3\right)\)

\(\Rightarrow2x-2x=3+1\) hoặc \(2x-1=-2x-3\)

\(\Rightarrow0=4\) ( loại ) hoặc \(2x+2x=-3+1\)

\(\Rightarrow4x=-2\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-1}{2}\)