a,\(\frac{1.1.2.2.3.3....99.99.100.100}{1.2.2.3.3.4...99.100.100.101}\)=\(\frac{\left(1.2.3...99.100\right)\left(1.2.3...99.100\right)}{\left(1.2.3.4...99.100\right)\left(2.3.4...100.101\right)}\)=\(\frac{1.1}{101}\)=\(\frac{1}{101}\). ý b làm tương tự nha

Tính giá trị của A, biết:

A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101

Bài làm :

Thay thừa số 3, 4, 5, 6.....101 bắng (2+1), (3+1), (4+1).....(100 +1)

Ta có

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)

A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)

A = 333300 + 4950 = 338250

Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1]

Tính: A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 = ?

Bài làm:

Thay thừa số 3, 4, 5, 6.....101 bắng (2+1), (3+1), (4+1).....(100 +1)

Ta có

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)

A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)

A = 333300 + 4950 = 338250

Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1]

Tính tổng các bình phương của 100 số tự nhiê n đầu tiên

A = 12 +22 +32+...+992 +1002

Bài làm :

thay thừa số 3, 4, 5, 6.....101 bắng (2+1), (3+1), (4+1).....(100 +1)

Ta có

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)

A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)

A = 333300 + 4950 = 338250

Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1]

A = 2+2²+2³+...+2⁶⁰

A = (2+2²+2³+2⁴)+(2⁵+2⁶+2⁷+2⁸)+....+(2⁵⁷+2⁵⁸+2⁵⁹+2⁶⁰)

A = 2(1+2+2²+2³)+2⁵(1+2+2²+2³)+...+2⁵⁷(1+2+2²+2³)

A = 2.15 + 2⁵.15 +.....+ 2⁵⁷.15

A = 15.(2+2⁵+...+2⁵⁷) chia hết cho 15

=> A chia hết cho 15 (đpcm)

ta tách một số n như sau

\(n^2=n\cdot n=n\left(n-1+1\right)=n\left(n-1\right)+n\)

=> \(1^2=1\cdot0+1\)

\(2^2=2\cdot1+2\)

\(3^2=3\cdot2+3\)

.....

\(100^2=100\cdot99+100\)

=> \(B=\left(1\cdot0+2\cdot1+3\cdot2+\cdots+100\cdot99\right)+\left(1+2+\cdots+100\right)\)

nhân 3 vào ngoặc 1

=> \(=\frac{99.100.101}{3}=333300\) ( mik hơi lười vt bạn tự tra nha:v)

\(\Rightarrow B=333300+5050=338350\)

b) Áp dụng công thức tính tổng bình phương:

\(1^2+\cdots+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) ( từ câu a)

tổng từ \(1^2\) đến \(200^2\) là:

\(\frac{200.201.401}{6}=2686700\)

tổng từ \(1^2\) đến \(100^2\) là: \(338350\)

=>C=\(2686700-338350=2348350\)

c) tách số như sau:

\(1\cdot3=1\cdot2+1\)

\(2\cdot4=2\cdot3+2\)

...

\(100\cdot102=100\cdot101+100\)

=> \(S=\left(1\cdot2+2\cdot3+\cdots+100\cdot101\right)+\left(1+2+3+\cdots+100\right)\)

=> \(S=\frac{100.101.102}{3}+\frac{100.101}{2}\)

=> \(S=343400+5050=348450\)

d) \(1\cdot100=1\cdot101-1^2\)

\(2\cdot99=2\cdot101-2^2\)

...

\(100\cdot1=100\cdot101-100^2\)

=>T=\(\left(1\cdot101+2\cdot101+\cdots+100\cdot101\right)-\left(1^2+2^2+\cdots+100^2\right)\)

\(T=101\left(1+2+3+\cdots+100\right)-B\) (B là tổng ở câu a) nha)

T=\(101\cdot5050-338350\)

\(T=171700\)

e) => \(4E=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot4\)

\(4E=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot\left(5-1\right)+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot\left(101-97\right)\)

\(4E=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot101-97\cdot98\cdot99\cdot100\)

=> \(4E=98\cdot99\cdot100\cdot101\)

=> \(E=24497550\)

ta có \(2C=2+2^2+2^3+...+2^{60}\)

=> \(2C-C=2+2^2+2^3+...+2^{60}-1-2-2^2-...-2^{59}=2^{60}-1\)

=> \(C=2^{60}-1\)

=> C và \(2^{60}\) là 2 số tự nhiên liên tiếp (ĐPCM)

cau lam on lam luon cau b gium minh  nha