a) Do: 2002 chia hết cho 2 và số tận cùng của lũy thừa có cơ số là 2002 là 2 ; 4 ; 8 ; 6 => 2002²⁰⁰³ cũng chia hết cho 2    (1)

Do: 2003 không chia hết cho 2  và số tận cùng của lũy thừa cơ số 2003 là 3 ; 9; 7 ; 1=> 2003²⁰⁰⁴ không chia hết cho 2     (2)

Từ (1) và (2) ta được: 2002²⁰⁰³ + 2003²⁰⁰⁴ không chia hết cho 2

b) 3⁴ⁿ - 6 = (3⁴)ⁿ - 6 = 81ⁿ - 6 

Do: Lũy thừa có cơ số là 81 thì có tận cùng là 1  => 81ⁿ đồng dư với 1 (mod 5) đồng thời 6 đồng dư với 1 (mod 5)

=>81ⁿ - 6 đồng dư với 1 - 1(mod 5) <=> 81ⁿ - 6 đồng dư với 0 (mod 5)

=> 81ⁿ - 6 chia hết cho 5  => 3⁴ⁿ - 6 chia hết cho 5 

c) 2001²⁰⁰² có tận cùng là 1  => 2001²⁰⁰² đồng dư với 1 (mod 10)

=> 2001²⁰⁰² - 1 đồng dư với 1 - 1 (mod 10)  => 2001²⁰⁰² - 1 đồng dư với 0 (mod 10)

=> 2001²⁰⁰² - 1 chia hết cho 10 

Câu 1:

Ta có: $2002\vdots 2\Rightarrow 2002^{2003}\vdots 2$

$2003\not\vdots 2\Rightarrow 2003^{2004}\not\vdots 2$

$\Rightarrow 2002^{2003}+2003^{2004}\not\vdots 2$

Câu 2:

$3^2\equiv -1\pmod 5$

$\Rightarrow 3^{4n}=(3^2)^{2n}\equiv (-1)^{2n}\equiv 1\pmod 5$

$\Rightarrow 3^{4n}-6\equiv 1-6\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow 3^{4n}-6\vdots 5$

Câu a:

A = n^2 + n + 1

TH1: n chia hết cho 5 thì A chia 5 dư 1

Th2: n không chia hết cho 5 thì: n chia 5 dư 1; 2; 3; 4

+ Nếu n chia 5 dư 1 thì n^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1 + 1+ 1 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 2 thì n^2 chia 5 dư: 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 2 + 1 - 5 = 2

+ Nếu n chia 5 dư 3 thì: n^2 chia 5 dư 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 3 + 1 - 5 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 4 thì n^2 chia 5 dư: 4^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1+ 4 + 1 - 5 = 1

Từ các lập luận trên ta có:

A chia 5 luôn dư. Vậy A không chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n(đpcm)

Câu b:

B = (n + 2003^2004).(n + 2004^2005)

Với n là số chẵn thì n + 2004^2005 là số chẵn mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2.

Với n là số lẻ thì n + 2003^2004 là số chẵn mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2.

Từ những lập luận trên ta có: B chia hết cho 2 với mọi n là số tự nhiên

Lời giải:

$5^{2005}+5^{2004}+5^{2003}=5^{2003}(5^2+5+1)=31.5^{2003}\vdots 31$ 

Ta có đpcm.

CHỨNG MINH LÊ NHẬT PHÚC NGU NGƯỜI

ko biết