Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
gọi \(\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3\) lần lược là các đường trung trực đi qua M,N,P.
ta có : \(\overrightarrow{n}_{\Delta_1}=\overrightarrow{NP}=\left(-2;3\right).\)
vậy \(\Delta_1\) có phương trình \(-2\left(x+1\right)+3y=0\Leftrightarrow2x-3y+2=0\)
ta có : \(\overrightarrow{n}_{\Delta_2}=\overrightarrow{MP}=\left(3;4\right).\)
vậy \(\Delta_2\) có phương trình \(3\left(x-4\right)+4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x+4y-16=0\)
ta có : \(\overrightarrow{n}_{\Delta_3}=\overrightarrow{MN}=\left(5;1\right).\)
vậy \(\Delta_3\) có phương trình \(5\left(x-2\right)+\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow5x+y-14=0\)
Theo đề, ta có:
xB+xC=-2 và xA+xC=2 và xA+xB=18
=>xA=11; xB=7; xC=-9
Theo đề, ta có:
yB+yC=-2 và yC+yA=18 và yA+yB=2
=>yA=11; yB=-9; yC=7
=>A(11;11); B(7;-9); C(-9;7)
*PTTQ của AB
vecto AB=(-4;-20)=(1;5)
=>VTPT là (-5;1)
PT của AB là -5(x-7)+1(y+9)=0
=>-5x+35+y+9=0
=>-5x+y+44=0
*PT của AC
vecto AC=(-20;-4)=(5;1)
=>VTPT là (-1;5)
PT của AC là -1(x+9)+5(y-7)=0
=>-x-9+5y-35=0
=>-x+5y-44=0
*PT của BC
vecto BC=(-16;16)=(-1;1)
=>VTPT là (1;1)
Phương trình BC là:
1(x+9)+1(y-7)=0
=>x+y+2=0
M là trung điểm của BC
=>\(x_{B}+x_{C}=2\cdot x_{M}=4;y_{B}+y_{C}=2\cdot y_{M}=2\cdot3=6\) (3)
N là trung điểm của AC
=>\(x_{A}+x_{C}=2\cdot x_{N}=2\cdot4=8;y_{A}+y_{C}=2\cdot y_{N}=2\cdot\left(-1\right)=-2\) (2)
P là trung điểm của AB
=>\(x_{A}+x_{B}=2\cdot x_{P}=2\cdot\left(-3\right)=-6;y_{A}+y_{B}=2\cdot y_{P}=2\cdot5=10\) (1)
Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}x_{B}+x_{C}=4\\ x_{A}+x_{C}=8\\ x_{A}+x_{B}=-6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{B}+x_{C}-x_{A}-x_{C}=4-8=-4\\ x_{A}+x_{B}=-6\\ x_{A}+x_{C}=8\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}x_{B}-x_{A}=-4\\ x_{B}+x_{A}=-6\\ x_{A}+x_{C}=8\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{B}=\frac{\left(-4\right)+\left(-6\right)}{2}=-\frac{10}{2}=-5\\ x_{A}=-6-x_{B}=-6-\left(-5\right)=-6+5=-1\\ x_{C}=8-x_{A}=8-\left(-1\right)=9\end{cases}\)
Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}y_{B}+y_{C}=6\\ y_{A}+y_{C}=-2\\ y_{A}+y_{B}=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{B}+y_{C}-y_{A}-y_{C}=6-\left(-2\right)\\ y_{A}+y_{B}=10\\ y_{A}+y_{C}=-2\end{cases}\)
=>\(\)\(\begin{cases}y_{B}-y_{A}=8\\ y_{B}+y_{A}=10\\ y_{A}+y_{C}=-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{B}=\frac{8+10}{2}=\frac{18}{2}=9\\ y_{A}=10-y_{B}=10-9=1\\ y_{C}=-2-1=-3\end{cases}\)
Vậy: A(-1;1); B(-5;9); C(9;-3)
B(-5;9); C(9;-3)
=>\(\overrightarrow{BC}=\left(9+5;-3-9\right)=\left(14;-12\right)=\left(7;-6\right)\)
=>Vecto pháp tuyến là (6;7)
Phương trình đường thẳng BC là:
6(x+5)+7(y-9)=0
=>6x+30+7y-63=0
=>6x+7y-33=0
Vì \(\overrightarrow{BC}=\left(7;-6\right)\)
nên phương trình đường trung trực của BC sẽ đi qua trung điểm M(2;3) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(7;-6\right)\) làm vecto pháp tuyến
phương trình đường trung trực của BC là:
7(x-2)+(-6)(y-3)=0
=>7x-14-6y+18=0
=>7x-6y+4=0
A(-1;1); C(9;-3)
=>\(\overrightarrow{AC}=\left(9+1;-3-1\right)=\left(10;-4\right)\)
=>Vecto pháp tuyến là (4;10)=(2;5)
Phương trình đường thẳng AC là:
2(x+1)+5(y-1)=0
=>2x+2+5y-5=0
=>2x+5y-3=0
Vì \(\overrightarrow{AC}=\left(10;-4\right)=\left(5;-2\right)\)
nên phương trình đường trung trực của AC sẽ đi qua trung điểm N(4;-1) và nhận \(\overrightarrow{AC}=\left(5;-2\right)\) làm vecto pháp tuyến
phương trình đường trung trực của AC là:
5(x-4)+(-2)(y+1)=0
=>5x-20-2y-2=0
=>5x-2y-22=0
A(-1;1); B(-5;9)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-5+1;9-1\right)=\left(-4;8\right)=\left(-1;2\right)\)
=>Vecto pháp tuyến là (2;1)
=>Phương trình đường thẳng AB sẽ đi qua B(-5;9) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình đường thẳng AB là:
2(x+5)+1(y-9)=0
=>2x+10+y-9=0
=>2x+y+1=0
Vì \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right)\)
nên phương trình đường trung trực của AB sẽ đi qua trung điểm P(-3;5) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình đường trung trực của AB là:
-1(x+3)+2(y-5)=0
=>-x-3+2y-10=0
=>-x+2y-13=0
M là trung điểm của BC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\cdot x_M=2\cdot2=4\\y_B+y_C=2\cdot y_M=2\cdot3=6\end{matrix}\right.\)(1)
N là trung điểm của AC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_C=2\cdot x_N=2\cdot4=8\\y_A+y_C=2\cdot y_N=2\cdot\left(-1\right)=-2\end{matrix}\right.\left(2\right)\)
P là trung điểm của AB
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot x_P=2\cdot\left(-3\right)=-6\\y_A+y_B=2\cdot y_P=2\cdot5=10\end{matrix}\right.\)(3)
Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=4\\x_A+x_C=8\\x_A+x_B=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=4-x_C\\x_A=8-x_C\\4-x_C+8-x_C=-6\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}12-2x_C=-6\\x_B=4-x_C\\x_A=8-x_C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=9\\x_B=4-9=-5\\x_A=8-9=-1\end{matrix}\right.\)
Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}y_B+y_C=6\\y_A+y_C=-2\\y_A+y_B=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B=6-y_C\\y_A=-2-y_C\\6-y_C-2-y_C=10\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}4-2\cdot y_C=10\\y_B=6-y_C\\y_A=-2-y_C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_C=-3\\y_B=6+3=9\\y_A=-2+3=1\end{matrix}\right.\)
Vậy: C(9;-3); B(-5;9); A(-1;1)
Gọi (d1): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng AB
A(-1;1); B(-5;9)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;8\right)=\left(-1;2\right)\)
=>VTPT là (2;1)
Phương trình AB là:
2[x-(-1)]+1(y-1)=0
=>2(x+1)+1(y-1)=0
=>2x+2+y-1=0
=>2x+y+1=0
Gọi (d2): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng AC
A(-1;1); C(9;-3)
\(\overrightarrow{AC}=\left(10;-4\right)=\left(5;-2\right)\)
=>VTPT là (2;5)
Phương trình AC là:
2(x+1)+5(y-1)=0
=>2x+2+5y-5=0
=>2x+5y-3=0
Gọi (d3): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng BC
B(-5;9); C(9;-3)
\(\overrightarrow{BC}=\left(14;-12\right)=\left(7;-6\right)\)
=>VTPT là (6;7)
Phương trình đường thẳng CB là:
6(x+5)+7(y-9)=0
=>6x+30+7y-63=0
=>6x+7y-33=0
\(\overrightarrow{BC}=\left(7;-6\right)\)
=>VTPT là (6;7)
mà trung điểm của BC là M(2;3)
nên Phương trình đường trung trực của BC là:
\(6\left(x-2\right)+7\left(y-3\right)=0\)
=>6x-12+7y-21=0
=>6x+7y-33=0
C(9;-3); B(-5;9); A(-1;1)
\(\overrightarrow{AC}=\left(10;-4\right)=\left(5;-2\right)\)
=>VTPT là (2;5)
Phương trình đường trung trực của AC là:
\(2\left(x-4\right)+5\left(y+1\right)=0\)
=>2x-8+5y+5=0
=>2x+5y-3=0
\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;8\right)=\left(-1;2\right)\)
=>VTPT là (2;1)
Phương trình trung trực của AB là:
\(2\left(x+3\right)+1\left(y-5\right)=0\)
=>2x+6+y-5=0
=>2x+y+1=0
Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến
AB đi qua A (1; -1) nên nó có phương trình là
x - 1 + 2 (y + 1) = 0 hay x + 2y + 1 = 0
Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M ∈ Δ, tọa độ của M có dạng
M (t ; 2t + 1) với t là số thực và \(\overrightarrow{AM}=\left(t-1;2t+2\right)\)
⇒ AM ⊥ Δ
⇒ \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\)
⇒ t + 1 + 2. (2t + 2) = 0
⇒ t = -1
Vậy M (- 1; - 1)
M là trung điểm của AB => Tọa độ B
Làm tương tự như thế sẽ suy ra tọa độ C
A B C A' B' C' a)Do A',B',C' là trung điểm BC,CA,AB=> A'B' song song với AB,B'C'song song với BC,C'A' song song với CA
\(\overrightarrow{A'B'}=\left(6;3\right)\) => VTPT của đường thẳng AB là: \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)\)
và C' thuộc (AB)=>Phương trình đường thẳng AB là:
(AB): x-2y-6=0
Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC là:
(BC): x+4=0
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{x-2y-6=0}\\x+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=-5\end{matrix}\right.\)
=>B(-4;-5)
A'(-4;1) là TĐ của BC => tọa độ C(-4;7)
C'(2;-2) là TĐ của AB =>tọa độ A(8;1)
b) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C' là G(x;y)
=>\(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=0\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-4-x\right)+\left(2-x\right)+\left(2-x\right)=0\\\left(1-y\right)+\left(4-y\right)+\left(-2-y\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
=>G(0;1)
Thay vào tính
Ta có:\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) =(8-4-4;1-1+7-1-5-1)=(0;0)
=>G là trọng tâm tam giác ABC=>ĐPCM