Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Hai số lẻ liên tiếp
Gọi hai số lẻ liên tiếp là \(2n+1\) và \(2n+3\) (\(n\in\mathbb{N}\)).
Gọi \(d\) là ước chung của hai số đó.
Ta có: \(d\mid (2n+1)\) và \(d\mid (2n+3)\).
Suy ra \(d\mid [(2n+3)-(2n+1)]\).
Hay \(d\mid 2\).
Vì \(2n+1\) là số lẻ nên \(d\) là số lẻ.
Mà \(d\) là ước của \(2\) nên \(d=1\).
Vậy hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.
b) \(2n+5\) và \(3n+7\) (\(n\) là số tự nhiên)
Gọi \(d\) là ước chung của \(2n+5\) và \(3n+7\).
Ta có: \(d\mid (2n+5)\) và \(d\mid (3n+7)\).
Suy ra \(d\mid [2(3n+7)-3(2n+5)]\).
Hay \(d\mid (6n+14-6n-15)\).
Suy ra \(d\mid (-1)\).
Vậy \(d=1\).
Do đó, \(2n+5\) và \(3n+7\) nguyên tố cùng nhau.
Gọi số nhỏ là \(a\).
Vì ƯCLN của hai số là \(45\) nên số nhỏ chia hết cho \(45\).
Do số lớn là \(270\), ta có \(a<270\).
Mặt khác, vì ƯCLN của \(a\) và \(270\) bằng \(45\) nên \(a\) có dạng \(a=45k\), với \(k\) là số tự nhiên.
Ta có:
\(270=45\times 6\).
Vì \(a<270\) nên \(k<6\).
Để ƯCLN của \(45k\) và \(270\) bằng \(45\), ta cần ƯCLN của \(k\) và \(6\) bằng \(1\).
Các giá trị \(k<6\) thỏa mãn là \(k=1;5\).
Suy ra \(a=45\) hoặc \(a=225\).
Vậy số nhỏ có thể là \(45\) hoặc \(225\).
Lưu ý: Bài toán có hai đáp án nếu chỉ cho biết ƯCLN bằng \(45\) và số lớn bằng \(270\).
_C1_
Tìm số tự nhiên a,biết rằng 398 chia a dư 38,còn 450 chia a dư 18
_C2_
Chứng minh rằng,các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a,hai số lẻ liên tiếp
b,2n+5 và 3n+7
_C3_
a,Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng:(a-1)x(a+4) chia hết cho 6
b,Chứng minh rằng,tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24
_C4_
ƯCLN(ước chung lớn nhất) của 2 số tự nhiên bằng 4.Số tự nhiên nhỏ là 8.Tìm số lớn
_C5_
Tìm n,sao cho:
a, n+4 chia hết cho n+1
b, n2+4 chia hết cho n+2
_Làm được bài nào thì làm,vậy thôi_
ban lam duoc het sao ban tra loi thu xem bai nay nhieu qua ban tra loi xong minh tra loi nho tra loi dung do
Ta có:
\(398\) chia \(a\) dư \(38\) nên \(398-38=360\) chia hết cho \(a\).
Suy ra \(360\) chia hết cho \(a\).
\(450\) chia \(a\) dư \(18\) nên \(450-18=432\) chia hết cho \(a\).
Suy ra \(432\) chia hết cho \(a\).
Vậy \(a\) là ước chung của \(360\) và \(432\).
Ta có:
\(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\)
\(432=2^4\cdot 3^3\)
Suy ra \(\text{ƯCLN}(360,432)=2^3\cdot 3^2=72\).
Do đó \(a\) là ước của \(72\).
Mặt khác, số dư phải nhỏ hơn số chia nên \(a>38\).
Các ước của \(72\) lớn hơn \(38\) là \(72\).
Vậy \(a=72\).
1. Ta có: a chia có 7 dư 3 => a - 3 chia hết cho 7
=> 4 (a - 3) chia hết cho 7 => 4a - 12 chia hết cho 7
=> 4a - 12 + 7 chia hết cho 7 => 4a - 5 chia hết cho 7 (1)
a chia cho 13 dư 11 => a - 11 chia hết cho 13
=> 4 (a - 11) chia hết cho 13 => 4a - 44 chia hết cho 13
=> 4a - 44 + 39 chia hết cho 13 => 4a - 5 chia hết cho 13 (2)
a chia cho 17 dư 14 => a - 14 chia hết cho 17
=> 4 ( a - 14) chia hết cho 17 => 4a - 56 chia hết cho 17
=> 4a - 56 + 51 chia hết cho 17 => 4a - 5 chia hết cho 17 (3)
Từ (1), (2) và (3) => 4a - 5 thuộc BC(7;13;17)
Mà a nhỏ nhất => 4a - 5 nhỏ nhất
=> 4a - 5 = BCNN(7;13;17) = 7 . 13 . 17 = 1547
=> 4a = 1552 => a= 388
2. Gọi ƯCLN(a,b) = d
=> a = d . m (ƯCLN(m,n) = 1)
b = d . n
Do a < b => m<n
Vì BCNN(a,b) . ƯCLN(a,b) = a . b
\(\Rightarrow BCNN\left(a,b\right)=\frac{a\cdot b}{ƯCLN\left(a,b\right)}=\frac{d\cdot m\cdot d\cdot n}{d}=m\cdot n\cdot d\)
Vì BCNN(a,b) + ƯCLN(a,b) = 19
=> m . n . d + d = 19
=> d . (m . n + 1) = 19
=> m . n + 1 thuộc Ư(19); \(m\cdot n+1\ge2\)
Ta có bảng sau:
d m . n +1 m . n m n a b 1 19 18 1 2 18 9 1 18 2 9
Vậy (a,b) = (2;9) ; (1 ; 18)
3.
Bài 1. Tìm ƯCLN \((2n+1;\ 9n+5)\), với \(n\in\mathbb N\)
Gọi \(d=\operatorname{ƯCLN}(2n+1;\ 9n+5)\).
Vì \(d\) là ước chung của \(2n+1\) và \(9n+5\), nên:
- \(d\mid (2n+1)\)
- \(d\mid (9n+5)\)
Suy ra:
\(d\mid [9n+5-4(2n+1)]\)
\(d\mid (n+1)\)
Mặt khác:
\(d\mid [(2n+1)-2(n+1)]\)
\(d\mid (-1)\)
Vậy \(d=1\).
Kết luận: ƯCLN \((2n+1;\ 9n+5)=1\).
Bài 2. Tìm số nguyên tố \(p\) sao cho \(p+4,\ p+10,\ p+14\) đều là số nguyên tố.
Nếu \(p=2\), thì \(p+4=6\) không phải số nguyên tố.
Nếu \(p=3\), ta có \(p+4=7,\ p+10=13,\ p+14=17\), đều là số nguyên tố.
Xét \(p>3\). Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p\) không chia hết cho 3.
Khi chia \(p\) cho 3, ta có hai trường hợp:
- Nếu \(p\) chia 3 dư 1 thì \(p+14\) chia hết cho 3.
- Nếu \(p\) chia 3 dư 2 thì \(p+4\) chia hết cho 3.
Các số \(p+4\) và \(p+14\) đều lớn hơn 3 nên nếu chia hết cho 3 thì không phải số nguyên tố.
Vậy chỉ có \(p=3\) thỏa mãn.
Kết luận: \(p=3\).
Bài 3. Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
Gọi ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là \(a,\ a+2,\ a+4\).
Trong ba số lẻ liên tiếp này, có một số chia hết cho 3.
Để cả ba số đều là số nguyên tố thì số chia hết cho 3 phải bằng 3.
Vì ba số tăng dần nên ba số đó là \(3,\ 5,\ 7\).
Cả ba số đều là số nguyên tố.
Kết luận: Ba số cần tìm là \(3,\ 5,\ 7\).
Bài 4. Tìm số tự nhiên \(a\) nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện đã cho.
Vì \(a\) chia cho 4 dư 3 nên đặt:
\(a=4k+3\).
Vì \(a\) chia cho 17 dư 9 nên:
\(4k+3\equiv 9\pmod {17}\)
\(4k\equiv 6\pmod {17}\)
Thử các giá trị, ta được \(k\equiv 15\pmod {17}\).
Đặt \(k=17t+15\), suy ra:
\(a=4(17t+15)+3\)
\(a=68t+63\).
Vì \(a\) chia cho 19 dư 13 nên:
\(68t+63\equiv 13\pmod {19}\)
\(11t+6\equiv 13\pmod {19}\)
\(11t\equiv 7\pmod {19}\).
Thử \(t=11\), ta có:
\(11\cdot11=121=19\cdot6+7\).
Vậy \(t=11\) thỏa mãn. Nghiệm không âm nhỏ nhất là \(t=11\), nên:
\(a=68\cdot11+63=811\).
Kết luận: \(a_{\min}=811\).
Bài 5. Tính tổng các ước số của \(A=2^{17}\cdot5\).
Ta có \(A=2^{17}\cdot5^1\).
Các ước số tự nhiên của \(A\) có dạng \(2^i\cdot5^j\), với \(0\le i\le17\) và \(0\le j\le1\).
Gọi tổng các ước số của \(A\) là \(S\).
Ta có:
\(S=(1+2+2^2+\cdots+2^{17})(1+5)\)
Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:
\(1+2+2^2+\cdots+2^{17}=2^{18}-1\).
Suy ra:
\(S=(2^{18}-1)\cdot6\)
\(S=(262144-1)\cdot6\)
\(S=262143\cdot6=1572858\).
Kết luận: Tổng các ước số của \(A\) là \(1572858\).
Bài 6. Cho \(S=1+5+5^2+\cdots+5^{20}\). Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(4S+1=5^n\).
Ta có:
\(S=1+5+5^2+\cdots+5^{20}\).
Nhân hai vế với 4:
\(4S=4+4\cdot5+4\cdot5^2+\cdots+4\cdot5^{20}\).
Mà:
- \(4=5-1\)
- \(4\cdot5=5^2-5\)
- \(4\cdot5^2=5^3-5^2\)
Tương tự, \(4\cdot5^{20}=5^{21}-5^{20}\).
Do đó:
\(4S=(5-1)+(5^2-5)+\cdots+(5^{21}-5^{20})\).
Các số hạng đối nhau triệt tiêu, còn lại:
\(4S=5^{21}-1\).
Suy ra:
\(4S+1=5^{21}\).
Theo đề bài, \(4S+1=5^n\), nên:
\(5^n=5^{21}\Rightarrow n=21\).
Kết luận: \(n=21\).