a) xy đạt giá trị lớn nhất khi x,y cùng dấu
Mà 2x+y=3  nên x,y phải dương
Áp dụng Cô-si cho 2 số dương 2x và y ta có:
\(2x+y\ge2\sqrt{2xy}\)
\(\Leftrightarrow3\ge2\sqrt{2xy}\Rightarrow xy\le\frac{9}{8}\)
b) Nghĩ đã

1   \(\left(2x+y\right)^2=4x^2+4xy+y^2=9\)

\(\left(2x-y\right)^2>=0\Rightarrow4x^2-4xy+y^2>=0\Rightarrow4x^2+y^2>=4xy\)

\(\Rightarrow4x^2+4xy+y^2=9>=4xy+4xy=8xy\Rightarrow\frac{9}{8}>=xy\)

dấu = xảy ra khi \(x=\frac{3}{4};y=\frac{3}{2}\)

vậy max của xy là \(\frac{9}{8}\)khi \(x=\frac{3}{4};y=\frac{3}{2}\)

A = -x² - 4x - y² + 2y

= -( x² + 4x + 4 ) - ( y² - 2y + 1 ) + 5

= -( x + 2 )² - ( y - 1 )² + 5 ≤ 5 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra khi x = -2 ; y = 1

=> MaxA = 5 <=> x = -2 ; y = 1

B = \(\frac{2020}{x^2+2x+6}\)

Để B đạt GTLN => x² + 2x + 6 đạt GTNN

Ta có : x² + 2x + 6 = ( x² + 2x + 1 ) + 5 = ( x + 1 )² + 5 ≥ 5 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -1

=> Min( x² + 2x + 6 ) = 5

=> MaxB = 2020/5 = 404 khi x = -1

C = \(\frac{15}{6x-x^2-14}\)

Để C đạt GTNN => 6x - x² - 14 đạt GTLN

Ta có : 6x - x² - 14 = -( x² - 6x + 9 ) - 5 = -( x - 3 )² - 5 ≤ -5 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 3

=> Max( 6x - x² - 14 ) = -5

=> MinC = 15/(-5) = -3 khi x = 3

a) \(A=x^2y+y+xy^2-x\) (hẳn đề là vậy)

\(A=xy\left(x+y\right)+\left(y-x\right)\)

\(A=\left(-5\right).2\left(-5+2\right)+2+5\)

\(A=30+7=37\)

b) \(B=3x^3-2y^3-6x^2y^2+xy\)

\(B=3.\left(\frac{2}{3}\right)^3-2.\left(\frac{1}{2}\right)^3-6.\left(\frac{2}{3}\right)^2.\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\)

\(B=\frac{8}{9}-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\)

\(B=\frac{11}{36}\)

c) \(C=2x+xy^2-x^2y-2y\)

\(C=2.\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right).\left(-\frac{1}{3}\right)^2-\left(-\frac{1}{2}\right)^2.\left(-\frac{1}{3}\right)-2.\left(-\frac{1}{3}\right)\)

\(C=-1-\frac{1}{18}+\frac{1}{12}+\frac{2}{3}\)

\(C=-\frac{11}{36}\)

Mình sắp thi Violimpic Toán Cấp Huyện rồi...

Giúp mình với♥♥♥

1. Ta có: $x+y+4=0 \Rightarrow x+y=-4$.

Xét: $A=2(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)+10xy$.

Ta có: $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ nên: $x^3+y^3=(-4)^3-3xy(-4)=-64+12xy$.

Lại có: $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=16-2xy$.

Thay vào biểu thức $A$:

$A=2(-64+12xy)+3(16-2xy)+10xy$

$=-128+24xy+48-6xy+10xy$

$=-80+28xy$.

Ta có: $(x-y)^2\ge0$

$\Rightarrow (x+y)^2-4xy\ge0$

$\Rightarrow 16-4xy\ge0$

$\Rightarrow xy\le4$.

=> $A=-80+28xy\le-80+28\cdot4=32$.

Dấu “=” xảy ra khi: $x=y=-2$.

Vậy: $\boxed{A_{max}=32}$.

2. Đặt: $t=xy$.

Ta có: $x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$.

Mà: $x^2+y^2\ge2xy=2t$ nên: $x^4+y^4\ge(2t)^2-2t^2=2t^2$.

Theo giả thiết: $x^4+y^4-7=xy(3-2xy)$

$\Rightarrow x^4+y^4-7=t(3-2t)$.

Do đó: $2t^2-7\le3t-2t^2$

$\Rightarrow 4t^2-3t-7\le0$.

Giải bất phương trình:

$4t^2-3t-7=0$

$\Rightarrow \Delta =(-3)^2-4\cdot4\cdot(-7)=121$

$\Rightarrow \sqrt\Delta=11$.

Suy ra: $t=\dfrac{3\pm11}{8}$

$\Rightarrow t=-1$ hoặc $t=\dfrac74$.

Vì: $4t^2-3t-7\le0$ nên: $-1\le t\le\dfrac74$.

Vậy: $\boxed{M_{min}=-1}$.

Bài 1: Chỉ cần chú ý đẳng thức \(a^5+b^5=\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)-a^2b^2\left(a+b\right)\) là ok! 

Làm như sau: Từ \(x^2+\frac{1}{x^2}=14\Rightarrow x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=16\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=16\). Do \(x>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}=4\)

: \(x^5+\frac{1}{x^5}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

\(=14\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

\(=14\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)-4\)

\(=14.4.\left(14-1\right)-4=724\) là một số nguyên (đpcm)

P/s: Lâu ko làm nên cũng ko chắc đâu nhé!