Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
38.
Gọi I là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\\\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)
\(3\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)
\(\Leftrightarrow3.\left|2\overrightarrow{MI}\right|=3\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|\)
\(\Leftrightarrow6\left|\overrightarrow{MI}\right|=2.\left|3\overrightarrow{MG}\right|\)
\(\Leftrightarrow6\left|\overrightarrow{MI}\right|=6\left|\overrightarrow{MG}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{MG}\right|\)
\(\Leftrightarrow MI=MG\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp M là đường trung trực của đoạn thẳng IG
Gọi M(x,y) là điểm cần tìm
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(-1-2x;8-2y)\)
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(8-3x;16-3y)\)
Theo giả thiết \(3|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|\), suy ra
\(3\sqrt{(-1-2x)^2+(8-2y)^2}=2\sqrt{(8-3x)^2+(16-3y)^2}\)
\(\Leftrightarrow 9(4x^2+4y^2+4x-32y+65)=4(9x^2+9y^2-48x-96y+320)\)
\(\Leftrightarrow 228x+96y-695=0\)
Vậy tập các điểm M cần tìm là đường thẳng 228x+96y-695=0
Gọi G là trọng tâm tam giác\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Đặt \(P=MA^2+MB^2+MC^2=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)
\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)
\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\)
Do \(GA^2+GB^2+GC^2\) ko đổi nên \(P_{min}\) khi \(MG_{min}\Leftrightarrow M\) là chân đường vuông góc hạ từ G xuống BC
\(\Rightarrow\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{3}\)
Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
\(\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MG}=0\)
\(\Rightarrow\) M thuộc đường tròn đường kính AG
Bán kính: \(R=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
Qua A dựng đường thẳng d song song BC, trên d lấy điểm I sao cho \(\overrightarrow{IA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow3\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{BC}\Rightarrow3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM}\right)\right|=\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)
\(\Leftrightarrow MI=\dfrac{1}{3}BC\)
Tập hợp M là đường tròn tâm I bán kính \(\dfrac{BC}{3}\)
(1): Gọi G là trọng tâm của ΔABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC
Theo đề, ta có: AM=3; BN=3/2; \(S_{ABC}=3\)
Xét ΔABC có
AM,BN là các đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: G là giao điểm của AM và BN
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(AG=\frac23AM=\frac23\cdot3=2\)
Xét ΔABC có
BN là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(BG=\frac23BN=\frac23\cdot\frac32=1\)
G là trọng tâm của ΔABC
=>\(S_{BGA}=\frac13\cdot S_{ABC}=\frac13\cdot3=1\)
=>\(\frac12\cdot GA\cdot GB\cdot\sin AGB=1\)
=>\(\frac12\cdot2\cdot1\cdot\sin AGB=1\)
=>sinAGB=1
=>\(\hat{AGB}=90^0\)
=>AM⊥BN tại G
ΔGAB vuông tại G
=>\(GA^2+GB^2=AB^2\)
=>\(AB^2=1^2+2^2=5\)
=>\(c=AB=\sqrt5\)
Gọi K là trung điểm của AB
=>\(GK=\frac13\cdot m_{C}\)
ΔGAB vuông tại G
mà GK là đường trung tuyến
nên \(GK=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt5}{2}\)
=>\(m_{C}=\frac{3\sqrt5}{2}\)
Xét ΔABC có AM,BN là các đường trung tuyến
nên \(MA^2=m_{a}^2=\frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}\) và \(BN^2=m_{b}^2=\frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4}\)
=>\(m_a^2 + m_b^2 = \frac{a^2 + b^2 + 4c^2}{4}\)
Xét ΔABC có CK là đường trung tuyến
nên \(CK^2=m_{c}^2=\frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}\implies2(a^2+b^2)=4m_{c}^2+c^2\)
=>\(4m_c^2 + c^2 = 4 \cdot \frac{45}{4} + 5 = 50 \implies a^2 + b^2 = 25\)
\(m_{a}^2+m_{b}^2=\frac{a^2 + b^2 + 4c^2}{4}\)
\(m_{a}^2+m_{b}^2=\) \(3^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25 + 4(5)}{4}=\frac{45}{4}\quad\)
\(m_{a}^2-m_{b}^2=\frac{3(b^2 - a^2)}{4}\)
\(\implies9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}=\frac{3(b^2 - a^2)}{4}\)
\(\implies b^2-a^2=9\)
Do đó, ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}a^2+b^2=25\\ b^2-a^2=9\end{cases}\)
=>\(2a^2=16\)
\(\implies a^2=8\)
\(\implies a=2\sqrt{2}\)
(2): \(a^2 = \frac{8}{9}(m_b^2 + m_c^2) - \frac{4}{9} m_a^2\)
=>\(a^2=\frac{8}{9}(2+3)-\frac{4}{9}(1)=\frac{36}{9}=4\)
=>a=2
\(b^2 = \frac{8}{9}(m_a^2 + m_c^2) - \frac{4}{9} m_b^2\)
=>\(b^2 = \frac{8}{9}(1 + 3) - \frac{4}{9}(2) = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}\)
\(c^2 = \frac{8}{9}(m_a^2 + m_b^2) - \frac{4}{9} m_c^2\)
=>\(c^2 = \frac{8}{9}(1 + 2) - \frac{4}{9}(3) = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\)
\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{\frac{8}{3} + \frac{4}{3} - 4}{2 \cdot \sqrt{\frac{8}{3}} \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}} = \frac{0}{2bc} = 0\)
\(\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4 + \frac{4}{3} - \frac{8}{3}}{2 \cdot 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{8}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)