Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Tập xác định: D = R\{m}
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;m),(m;+∞)(−∞;m),(m;+∞)khi và chỉ khi:
y′=−m2+4(x−m)2>0⇔−m2+4>0⇔m2<4⇔−2<m<2y′=−m2+4(x−m)2>0⇔−m2+4>0⇔m2<4⇔−2<m<2
b) Tập xác định: D = R\{m}
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng khi và chỉ khi:
y′=−m2+5m−4(x+m)2<0⇔−m2+5m−4<0y′=−m2+5m−4(x+m)2<0⇔−m2+5m−4<0
[m<1m>4[m<1m>4
c) Tập xác định: D = R
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:
y′=−3x2+2mx−3≤0⇔′=m2−9≤0⇔m2≤9⇔−3≤m≤3y′=−3x2+2mx−3≤0⇔′=m2−9≤0⇔m2≤9⇔−3≤m≤3
d) Tập xác định: D = R
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
y′=3x2−4mx+12≥0⇔′=4m2−36≤0⇔m2≤9⇔−3≤m≤3
Ta có : \(y'=\frac{m^2-4}{\left(x-m\right)^2},x\ne m\) nên hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-\(\infty\);3] khi và chỉ khi \(\begin{cases}y'>0,x\in\left(-\infty;3\right)\\m\notin\left(-\infty;3\right)\end{cases}\)\(\begin{cases}m^2-4>0\\m>3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\)m<-2 hoặc m>2 và m>3 <=> m>3
Vậy m>3 thì hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty\);3]
Ta có \(y'=-\left(m-1\right)x^2+2\left(m+2\right)+3m\) \(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\Leftrightarrow y'\ge0,x\in\left(-\infty;-2\right)\)(*)
Vì y'(x) liên tục tại x = -2 nên (*) \(\Leftrightarrow y'\ge0;\)
và mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ] (*)
\(\Leftrightarrow-\left(m-1\right)x^2+2\left(m+2\right)x+3m\ge0\), mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ]
\(\Leftrightarrow m\left(-x^2+2x+3\right)\ge-x^2-4x\), mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ]\(\Leftrightarrow m\le g\left(x\right)\), mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ] (Trong đó \(g\left(x\right)=\frac{-x^2-4x}{-x^2+2x+3}\))
\(\Leftrightarrow m\le Min_{\left(-\infty;-2\right)}g\left(x\right)\)
Xét hàm số \(g\left(x\right)=\frac{-x^2-4x}{-x^2+2x+3}\) trên đoạn (-\(-\infty;2\) ]
\(\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{-6\left(x^2+x+2\right)}{\left(-x^2+2x+3\right)^2}=\frac{-6\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}{\left(-x^2+2x+3\right)^2}<0\),mọi x thuộc (-\(-\infty;2\) ]
\(\Rightarrow g\left(x\right)\) là hàm số nghịch biến trên (-\(-\infty;2\) ]
\(\Rightarrow Min_{\left(-\infty;-2\right)}g\left(x\right)=g\left(-2\right)=-\frac{4}{5}\)
Vậy \(m\le-\frac{4}{5}\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\)
Lời giải:
Để hàm $y$ nghịch biến thì
\(y'=\frac{m^2-4}{(m+x)^2}<0\Leftrightarrow m^2-4<0\Leftrightarrow -2< m<2(1)\)
Mặt khác \(x\in(-\infty,1)\) nên để hàm số xác định, tức \(x+m\neq 0\Rightarrow m\neq (-1,+\infty)\), tức là \(m\leq -1(2) \)
Kết hợp \((1),(2)\Rightarrow -2 < m \leq -1\)
2.
Xét hàm \(f\left(x\right)=x^4+2x^3+mx+2\)
\(f'\left(x\right)=4x^3+6x^2+m\)
\(y=\left|f\left(x\right)\right|=\sqrt{f^2\left(x\right)}\Rightarrow y'=\frac{f'\left(x\right).f\left(x\right)}{\sqrt{f^2\left(x\right)}}\)
Để hàm đồng biến trên khoảng đã cho
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x\right).f\left(x\right)\ge0\\f\left(x\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\forall x>-1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x\right)\ge0\\f\left(-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^3+6x^2+m\ge0\left(1\right)\\1-m\ge0\end{matrix}\right.\) \(\forall x>-1\)
Xét (1) \(\Leftrightarrow m\ge g\left(x\right)=-4x^3-6x^2\Rightarrow m\ge\max\limits_{x>-1}g\left(x\right)\)
\(g'\left(x\right)=-12x^2-12x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Từ BBT ta thấy \(\max\limits_{x>-1}g\left(x\right)=g\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow m\ge0\)
Vậy \(0\le m\le1\)
Cho mình hỏi là chỗ f'(x).f(x)\(\ge0\) chỉ xảy ra trường hợp cả hai cái cùng dương thôi hả cậu?
Bạn để ý khoảng cần xét có chứa \(+\infty\)
Mà \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\) nghĩa là chỉ cần x đủ lớn thì \(f\left(x\right)\) luôn dương
Do đó ta chỉ cần xét trong trường hợp 2 biểu thức đó cùng dương
À còn cái điều kiện f(x) khác 0 phía dưới mình k cần xét tiếp hả cậu? Tại bài này mình mới gặp nên có nhiều chỗ hơi thắc mắc :(((
Do \(f'\left(x\right)\ge0\) nên hàm đồng biến
\(f\left(-1\right)\ge0\Rightarrow f\left(x\right)\ge f\left(-1\right)>0\) ;\(\forall x>-1\)
Do đó hiển nhiên \(f\left(x\right)=0\) khi đó sẽ vô nghiệm, khỏi cần xét bạn
À ok mình cảm ơn nhiều ha
1.
- Với \(\left[{}\begin{matrix}x< -1\\x>\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=2x^2-3x-5\Rightarrow y'=4x-3\)
\(y'< 0\) với \(x< -1\) ; \(y'>0\) với \(x>\frac{5}{2}\)
- Với \(-1< x< \frac{5}{2}\Rightarrow y=-2x^2+3x+5\Rightarrow y'=-4x+3=0\Rightarrow x=\frac{3}{4}\)
- Tại \(x=-1\):
\(y'\left(-1^-\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}\left(4x-3\right)=-7\)
\(y'\left(-1^+\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}\left(-4x+3\right)=-1\ne y'\left(-1^-\right)\)
\(\Rightarrow\) Tại \(x=-1\) hàm liên tục nhưng ko có đạo hàm nên \(x=-1\) là 1 cực trị
Tương tự ta cũng có \(x=\frac{5}{2}\) là 1 cực trị
BBT:
Từ BBT ta thấy hàm đồng biến trên \(\left(-1;\frac{4}{3}\right)\) và \(\left(\frac{5}{2};+\infty\right)\)