Câu hỏi của Ly Trần

Question

1.Giải và biện luận bất phương trình:
$\sqrt{x-m}$ - $\sqrt{x-2m}$ > $\sqrt{x-3m}$
2. Tìm m...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

a/ $\sqrt{x-m}>\sqrt{x-2m}+\sqrt{x-3m}$

$\Leftrightarrow x-m>2x-5m+2\sqrt{\left(x-2m\right)\left(x-3m\right)}$

$\Leftrightarrow4m-x>2\sqrt{\left(x-2m\right)\left(x-3m\right)}$

- Với $m\le0$ BPT vô nghiệm

- Với $m>0$ $\Rightarrow3m< x< 4m$

Bình phương 2 vế:

$x^2-8mx+16m^2>4\left(x^2-5mx+6m^2\right)$

$\Leftrightarrow3x^2-12mx+8m^2< 0$

$\Rightarrow\frac{6-2\sqrt{3}}{3}m< x< \frac{6+2\sqrt{3}}{3}m$

Kết hợp $3m< x< 4m\Rightarrow3m< x< \frac{6-2\sqrt{3}}{3}m$

Câu trả lời:

a/ $\sqrt{x-m}>\sqrt{x-2m}+\sqrt{x-3m}$

$\Leftrightarrow x-m>2x-5m+2\sqrt{\left(x-2m\right)\left(x-3m\right)}$

$\Leftrightarrow4m-x>2\sqrt{\left(x-2m\right)\left(x-3m\right)}$

- Với $m\le0$ BPT vô nghiệm

- Với $m>0$ $\Rightarrow3m< x< 4m$

Bình phương 2 vế:

$x^2-8mx+16m^2>4\left(x^2-5mx+6m^2\right)$

$\Leftrightarrow3x^2-12mx+8m^2< 0$

$\Rightarrow\frac{6-2\sqrt{3}}{3}m< x< \frac{6+2\sqrt{3}}{3}m$

Kết hợp $3m< x< 4m\Rightarrow3m< x< \frac{6-2\sqrt{3}}{3}m$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

b/ Đặt $\sqrt{x+m}=t\ge0\Rightarrow x=t^2-m$

BPT trở thành: $t^2-2m\le t\Leftrightarrow t^2+t\le2m$

Ta thấy hàm số $y=t^2+t$ đồng biến trên $[0;+\infty)$ do $a=1$ dương và $-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}< 0$

$\Rightarrow y\ge y\left(0\right)=0$

Vậy:

- Với $m< 0$ BPT vô nghiệm

- Với $m\ge0$ ta có nghiệm dương của pt $t^2+t-2m=0$ là $\frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}$

$\Rightarrow$ Nghiệm của BPT là $t\in\left[0;\frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}\right]$ hay $x\in\left[-m;\frac{2m+1-\sqrt{8m+1}}{2}\right]$ với $m\ge0$