- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{U}=\overrightarrow{QQ'}\)

Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng .

- Các bước thực hiện :

          +/ Tìm Q’ sao cho : \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{U}=\overrightarrow{QQ'}\)

          +/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N

          +/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .

A A B D C H N M  

Ta cần chứng minh \(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AM}=0\)

Đặt \(\frac{BM}{MH}=\frac{CN}{ND}=k\), khi đó \(\overrightarrow{MB=}-k\overrightarrow{MH}\) , \(\overrightarrow{NC=}-k\overrightarrow{ND}\)

Suy ra \(\left(1+k\right)\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AH}\)

và \(\left(1+k\right)\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{HD}\)

Suy ra :

\(\left(1+k\right)^2\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AM}=k\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}\right)\)

                               \(=k\left(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}\right)\)

                               \(=k\left(\overrightarrow{-AH^2}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AD}\right)\)

                               \(=k\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}=0\)

Suy ra điều phải chứng minh

a: \(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}\)

=>M nằm giữa A và B và MA=MB

=>M là trung điểm của AB

\(\overrightarrow{CP}=\frac12\cdot\overrightarrow{CD}\)

=>P nằm giữa C và D sao cho \(CP=\frac12CD\)

=>P là trung điểm của CD
b: Sửa đề: Chứng minh \(\overrightarrow{MP}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\)

\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}\)

\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}\)

Do đó: \(2\cdot\overrightarrow{MP}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{CP}\right)\)

=>\(2\cdot\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)

=>\(\overrightarrow{MP}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(\tan \widehat {BAC} = \frac{3}{4}\)

Suy ra, \(\tan \widehat {BAD} = \tan \left( {\widehat {BAC} + \widehat {CAD}} \right) = \tan \left( {\widehat {BAC} + {{30}^0}} \right)\)

\( = \frac{{\tan \widehat {BAC} + \tan {{30}^0}}}{{1 - \tan \widehat {BAC}.\tan {{30}^0}}} = \frac{{\frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 - \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} \approx 2,34\)

Xét tam giác vuông ABD vuông tại B có:

\(\begin{array}{l}BD = AB.\tan \widehat {BAD} = 4.2,34 \approx 9,36\\ \Rightarrow CD = BD - BC \approx 9,36 - 3 \approx 6,36\end{array}\)