Cho tam giác ABC có trọng tâm G. M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Lấy 2 điểm I,  J sao cho \(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\), \(2\overrightarrow{JA}+5\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)

a) CM: M, N, J thẳng hàng với J là trung điểm của BI

b) Gọi E là điểm thuộc AB sao cho \(\overrightarrow{AE}=k.\overrightarrow{AB}\). Xác định k sao cho C, E, J thẳng hàng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, AB = AC = a

a) Tính \(\left|\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\right|\)

b) D là trung điểm BC, K đối xừng A qua B. I là trung điểm KD. Biểu thị \(\overrightarrow{AI}\) theo \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\)

c) Các điểm E, I thỏa mãn: \(\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{BJ}=\frac{3}{8}\overrightarrow{BE}\).

Chứng minh A, I, J thẳng hàng.

1. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của 2 đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow{IJ}\) =\(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{BD}\) = \(\overrightarrow{AD}\) + \(\overrightarrow{BC}\)

2. Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AM}\) + \(\overrightarrow{BN}\) + \(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{O}\)

Cho tam giác ABC. Gọi M, N là các điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{NB}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

a. Chứng minh \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CA}\)

b. Biểu diễn các vec tơ \(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN,}\overrightarrow{MN}\) theo hai vec tơ \(\overrightarrow{AB,}\overrightarrow{AC}\)

c. Chứng minh đường thẳng MN đi qua trung điểm P của AC

Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB=2MC

1) Biểu thị \(\overrightarrow{AM}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và\(\overrightarrow{AC}\)

2) Chứng minh \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}-2\overrightarrow{NA}\) không phụ thuộc vào vị trí điểm N. Hãy dựng \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{v}\)

3) Gọi K là trung điểm cạnh AC, điểm I nằm trên đoạn AM sao cho \(\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AM}\). Tìm số x để ba điểm B, I, K thẳng hàng.

4) Cho điểm K di động thỏa mãn: \(\overrightarrow{KE}=2\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC}\). Chứng minh KE đi qua một điểm cố định

Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm xác định bởi : \(\overrightarrow{AD}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\). I là trung điểm của BD. M là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BC},\left(x\in R\right)\)

a) Tính \(\overrightarrow{AI}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)

b) Tính \(\overrightarrow{AM}\) theo \(x,\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)

c) Tính \(x\) sao cho A, I, M thẳng hàng

Cho tam giác ABC . Dựng điểm B' sao cho \(\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{BC}\)và dựng điểm A' sao cho \(\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{AB}\). tiếp tục dựng thêm điểm C' sao cho \(\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{CA}\).

a, Chứng minh \(\overrightarrow{AB'}\) là vecto đối của \(\overrightarrow{AC'}\)và A là trung điểm của đoạn thẳng B'C'

b. chứng minh AA',BB',CC' cắt nhau tại 1 điểm