A B C I H K F E a) Theo gt ta có :

FD // AC => FD // AE ( E \(\in AC\))      ( 1)

DE // AB => DE // AF ( F \(\in AB\) )      (2)

từ (1)(2) \(\Rightarrow AEDF\) là hình bình hành ( theo dấu hiệu nhận biết hình bình 1)

b)

theo a) tao có AEDF là hình bình hành

hình bình hành có 2 đường chéo AD và EF giao nhau tại I

=> I là trung điểm của 2 đường chéo AD và EF ( t/c hình bình hành )

=> \(IF=IE\) hay F đối xứng với E qua I

a)Xét tứ giác AEDF có: DE//AB, DF//AC

\(\Rightarrow\)AEDE là hình bình hành

b) Vì 2 đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên IA=ID, IF=IE suy ra E đối xứng với F qua I

M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

M là trung điểm của AD (MA = MD)

=> ABCD là hình bình hành

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI=BC/2=BI=CI

Xét ΔAIC có IA=IC

nên ΔIAC cân tại I

mà \(\widehat{ICA}=60^0\)

nên ΔIAC đều

=>IC=CA

hay IC=AM/2

Xét ΔIAM có

IC là đường trung tuyến

IC=AM/2

Do đó: ΔIAM vuông tại I

b: Xét ΔBIM có

K là trung điểm của BM

P là trung điểm của IM

Do đó: KP là đường trung bình

=>KP//BI

hay KP//CI

Xét ΔIAM có 

P là trung điểm của IM

C là trung điểm của AM

Do đó: PC là đường trung bình

=>PC=AI/2=AC/2=CM/2(1)

Xét ΔBCM có

I là trung điểm của BC

K là trung điểm của BM

Do đó: IK là đường trung bình

=>IK=CM/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra CP=KI

Xét tứ giác IKPC có KP//IC

nên IKPC là hình thang

mà CP=KI

nên IKPC là hình thang cân

a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình gì?

Vì $I$ đối xứng với $M$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $MI$.

Suy ra: $D$ là trung điểm của $MI$ và $DM\perp AB$.

Tương tự, $K$ đối xứng với $M$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $MK$.

Suy ra: $E$ là trung điểm của $MK$ và $EM\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DM\parallel AC,\quad EM\parallel AB$.

Do $A,D\in AB$ nên: $AD\parallel EM$.

Do $A,E\in AC$ nên: $AE\parallel DM$.

Vậy tứ giác $ADME$ có hai cặp cạnh đối song song nên:

$ADME$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{DAE}=90^\circ$.

Suy ra: $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác $AMCK$ là hình gì?

Vì $AC$ là đường trung trực của $MK$ nên:

$AC\perp MK$ và $E$ là trung điểm của $MK$.

Trong tứ giác $AMCK$:

$AC$ vừa là đường chéo, vừa là đường trung trực của đường chéo $MK$.

Lại có: $AM=AK,\quad CM=CK$.

Suy ra: $AMCK$ là hình diều.

c) Chứng minh $I$ và $K$ đối xứng nhau qua $A$.

Vì $AB\perp AC$ nên:

$\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=90^\circ$.

Do $I$ đối xứng của $M$ qua $AB$ và $K$ đối xứng của $M$ qua $AC$ nên:

$\widehat{IAB}=\widehat{MAB}$,

$\widehat{KAC}=\widehat{MAC}$.

Suy ra: $\widehat{IAK}=180^\circ$.

Mặt khác: $AI=AM=AK$.

Do đó: $A$ là trung điểm của $IK$.

Vậy: I và K đối xứng nhau qua A.

d) Nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Khi đó: $AB=AC$.

Suy ra: $DM=EM$

Mà $ADME$ là hình chữ nhật nên có hai cạnh kề bằng nhau.

Vậy: $ADME$ là hình vuông

Đồng thời: $AM=MC$ (trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông cân), lại có: $AM=AK,\ MC=CK$.

Suy ra: $AM=MC=CK=KA$.

Vậy: $\boxed{AMCK \text{ là hình thoi}}$.

Em tham khảo tại đây nhé.

Câu hỏi của nguuen thi minh tam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

b: Xét tứ giác ECDF có

DF//EC

DF=EC

Do đó: ECDF là hình bình hành

mà DF=DC

nên ECDF là hình thoi