Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên: $AB = AC = a$

Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ thì $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $BD = CD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Do tính đối xứng, $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $D$.

Xét mặt phẳng chứa $SA$ và $AD$.

Ta có: $AD = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông $SAO$ tại $A$:

$AO^2 = AD^2 + AO_{\perp}^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2 = \dfrac{a^2}{2} + a^2 = \dfrac{3a^2}{2}$

=> $R = AO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Đáp án B.

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB).

Ta có:

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Ta có:

Vì $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAB$, $SAC$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có:
$AB = BC = a$, $\widehat{ABC} = 120^\circ$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ$

$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\dfrac{1}{2})$

$AC^2 = 3a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt{3}$

Do $SA \perp (ABC)$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ nằm trên đường trung trực của đoạn $SA$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp thỏa mãn:

$R^2 = \left(\dfrac{SA}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2$

Thay số: $R^2 = \left(\dfrac{2a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$R^2 = a^2 + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{7a^2}{4}$

$\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$

Đáp án C

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên $AB = BC = a$ và $AC = a\sqrt{2}$.

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
=> $OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.

Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.

Ta tính độ dài $SO$:
$SO = \sqrt{SA^2 + AO^2}$
$= \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}$
$= \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{2}}$
$= \sqrt{\dfrac{3a^2}{2}}$
$= a\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a\sqrt{3/2}}{2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.

Ta có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên
$AB = AC$, $BC$ là cạnh huyền.

Vì $BC = 3a$ nên $AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt{2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{2}}$.

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
=> $OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{3a}{2}$.

Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.

Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.

Bán kính mặt cầu: $R = MS = MO = \dfrac{SO}{2}$.

Ta có:
$SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2}$
$= \sqrt{4a^2 + \dfrac{9a^2}{4}}$
$= \sqrt{\dfrac{25a^2}{4}}$
$= \dfrac{5a}{2}$.

=> $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{5a}{4}$.

ΔBAC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=\left(2a\right)^2+a^2=5a^2\)

=>\(AC=a\sqrt5\)

SA⊥(ABC)

=>\(\hat{SB;\left(ABC\right)}=\hat{BS;BA}=\hat{SBA}\)

Xét ΔSAB vuông tại A có tan SBA=\(\frac{SA}{AB}\)

=>\(SA=AB\cdot\tan60=2a\cdot\tan60=2a\sqrt3\)

Gọi M là trung điểm của AC

ΔBAC vuông tại B

mà BM là đường trung tuyến

nên MB=MC=MA

=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Qua M, kẻ d//SA

Trong mp(SA,d), kẻ đường trung trực của SA, cắt d tại I

=>I là tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

=>IS=IA=IB=IC

Bán kính mặt cầu là:

\(R=\sqrt{R_{đáy}^2+\left(\frac{SA}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt5}{2}\right)^2+\left(a\sqrt3\right)^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)

b: Diện tích mặt cầu là:

\(S=4\pi\cdot R^2=4\pi\left(\frac{a\sqrt{17}}{2}\right)^2=a^2\sqrt{17}\cdot\pi\)

Thể tích khối cầu là;

\(V=\frac43\cdot\pi\cdot R^3=\frac43\pi\left(\frac{a\sqrt{17}}{2}\right)^3=\frac43\pi\cdot a^3\cdot\frac{17\sqrt{17}}{8}=\frac{17\sqrt{17}\cdot a^3\pi}{6}\)

Đáp án đúng : C

Đáp án D

Phương pháp:

S.ABC là tứ diện vuông là một phần của hình hộp chữ nhật SB’D’C’.ABDC (như hình vẽ bên), có tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm của hình hộp chữ nhật, có bán kính bằng nửa đường chéo của hình hộp chữ nhật (độ dài các cạnh là a, b, c) bằng 

Cách giải:

Bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC:

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = (2a)^2 + (3a)^2 = 13a^2 \Rightarrow BC = a\sqrt{13}$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên:

$\triangle SAB,\ \triangle SAC,\ \triangle SBC$ đều là tam giác vuông tại $A$.

Ta có: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt5$,

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt{10}$,

$BC = a\sqrt{13}$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + SC^2 = 5a^2 + 10a^2 = 15a^2 \ne BC^2$ nên không vuông.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ C(0,3a,0),\ S(0,0,a)$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp có dạng $I(x,y,z)$ cách đều $A,B,C,S$.

Từ $IA = IB$:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = a$.

Từ $IA = IC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-3a)^2 + z^2 \Rightarrow y = \dfrac{3a}{2}$.

Từ $IA = IS$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z-a)^2 \Rightarrow z = \dfrac{a}{2}$.

Suy ra $I\left(a,\dfrac{3a}{2},\dfrac{a}{2}\right)$.

Bán kính:

$r = IA = \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$

$= \sqrt{a^2 + \dfrac{9a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4}}$

$= \sqrt{\dfrac{14a^2}{4}}$

$= \dfrac{a\sqrt{14}}{2}$.

Vậy $r = \dfrac{a\sqrt{14}}{2}$.

Chọn đáp án D.