Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$:
Từ giả thiết: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$
Quy đồng mẫu thức:
$\Rightarrow \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0$
$\Rightarrow xy + yz + zx = 0$
Khai triển tử thức của $A$:
$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz$
Thay $xy + yz + zx = 0$ vào biểu thức trên:
$(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z) \cdot 0 - xyz = -xyz$
Do đó: $A = \frac{-xyz}{xyz} = -1$
Vậy $A = -1$.
b. Chứng minh $A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2}$ là bình phương của một số hữu tỉ:
Đặt $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$.
Ta có: $x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$.
Xét đẳng thức:
$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2\left(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}\right)$
Biến đổi phần trong ngoặc kép:
$\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = \frac{z + x + y}{xyz}$
Vì $x + y + z = 0$ nên $\frac{z + x + y}{xyz} = 0$.
Suy ra:
$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}$
Thay lại $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$:
$A = \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(b-c)^2} + \frac{1}{(c-a)^2} = \left(\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}\right)^2$
Vì $a, b, c$ là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một nên $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a}$ là một số hữu tỉ.
Vậy $A$ là bình phương của một số hữu tỉ (điều phải chứng minh).
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
chào bạn. tôi nghĩ rằng bạn đủ thông minh để làm nên tích đi đã r tôi sẽ giúp @*