Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B.
Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB).
Ta có:
Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Gọi M là trung điểm của SA.
Ta có:
Vì $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAB$, $SAC$ vuông tại $A$.
Xét tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có:
$AB = BC = a$, $\widehat{ABC} = 120^\circ$
Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ$
$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\dfrac{1}{2})$
$AC^2 = 3a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt{3}$
Do $SA \perp (ABC)$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ nằm trên đường trung trực của đoạn $SA$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp thỏa mãn:
$R^2 = \left(\dfrac{SA}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2$
Thay số: $R^2 = \left(\dfrac{2a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$R^2 = a^2 + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{7a^2}{4}$
$\Rightarrow R = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$
Ta có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên
$AB = AC$, $BC$ là cạnh huyền.
Vì $BC = 3a$ nên $AB = AC = \dfrac{BC}{\sqrt{2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{2}}$.
Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
=> $OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{3a}{2}$.
Do $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ là hình chóp vuông tại $A$.
Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.
Bán kính mặt cầu: $R = MS = MO = \dfrac{SO}{2}$.
Ta có:
$SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2}$
$= \sqrt{4a^2 + \dfrac{9a^2}{4}}$
$= \sqrt{\dfrac{25a^2}{4}}$
$= \dfrac{5a}{2}$.
=> $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{5a}{4}$.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên: $AB = BC = a$.
=> $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Gọi $O$ là trung điểm của $AC$ thì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do đó: $OA = OB = OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = 2a$ nên hình chóp $S.ABC$ vuông tại $A$.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm $M$ của đoạn $SO$.
Ta tính: $SO = \sqrt{SA^2 + AO^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 + \dfrac{a^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{9a^2}{2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{2}}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{3a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$.
Kẻ SH vuông góc với BC tại H => SH vuông góc với (ABC)
Kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N
Ta có góc SMH = góc SNH = 60 độ
Dễ thấy tam giác SHM = tam giác SHN => HM = HN
Ta có HM = HB.sin 30 = 1/2 HB hay HB = 2 HM
HN = HC.sin 60 = HC.căn 3 /2 => HC = 2/căn 3.HN = 2/căn 3 .HM
=> BC = a = HB + HC = ( 2 + 2/căn 3).HM
=> HM = a/(2 + 2/căn 3) = a.căn 3 /(2+ 2.căn 3)
=> SH = HM.tan 60 = 3a/(2+2.căn 3)
Có AB = BC/2 = a/2
AC = BC.căn 3/2 = a.căn 3/2
S(ABC) = 1/2.AB.AC = 1/8.a^2.căn 3
=> V(SABC) = 1/3.3a/(2+2.căn 3) . 1/8.a^2.căn 3 = a^3.căn 3 /[16.(1+ căn 3)]
ΔBAC vuông tại B
=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)
=>\(AC^2=\left(2a\right)^2+a^2=5a^2\)
=>\(AC=a\sqrt5\)
SA⊥(ABC)
=>\(\hat{SB;\left(ABC\right)}=\hat{BS;BA}=\hat{SBA}\)
Xét ΔSAB vuông tại A có tan SBA=\(\frac{SA}{AB}\)
=>\(SA=AB\cdot\tan60=2a\cdot\tan60=2a\sqrt3\)
Gọi M là trung điểm của AC
ΔBAC vuông tại B
mà BM là đường trung tuyến
nên MB=MC=MA
=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Qua M, kẻ d//SA
Trong mp(SA,d), kẻ đường trung trực của SA, cắt d tại I
=>I là tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC
=>IS=IA=IB=IC
Bán kính mặt cầu là:
\(R=\sqrt{R_{đáy}^2+\left(\frac{SA}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt5}{2}\right)^2+\left(a\sqrt3\right)^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)
b: Diện tích mặt cầu là:
\(S=4\pi\cdot R^2=4\pi\left(\frac{a\sqrt{17}}{2}\right)^2=a^2\sqrt{17}\cdot\pi\)
Thể tích khối cầu là;
\(V=\frac43\cdot\pi\cdot R^3=\frac43\pi\left(\frac{a\sqrt{17}}{2}\right)^3=\frac43\pi\cdot a^3\cdot\frac{17\sqrt{17}}{8}=\frac{17\sqrt{17}\cdot a^3\pi}{6}\)