Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A) 1000000 - 107492 : 154 x 28 + 1000
= 1000000 - 19544 + 1000
= 981456
B) 8/15 + 4/7 + 14/30 + 12/21 + 5
= 15/7 + 5
= 50/7
C) 9/13 : 6/11 - 5/12 : 6/11
= 9/13 x 11/6 - 5/12 x 11/6
= (9/13 - 5/12) x 11/6
= 43/156 x 11/6
= 473/936
Bài 2
1) X x2 + X x 1/5 = 8/5
X x (2 + 1/5 ) = 8/5
X x 11/5 = 8/5
X = 8/5 x 5/11
X = 8/11
2) X : 3/8 = 4/3 : 3/6
X : 3/8 = 8/3
X = 8/3 x 3/8
X = 1
a) 1 000 000 - 107 492 : 154 x 28 + 1000
= 1 000 000 - 698 x 28 + 1000
= 1 000 000 - 19544 + 1000
= 980 456 + 1000
= 981 456
b) 8/15 + 4/7 + 14/30 + 12/21 + 5
= ( 8/15 + 14/30 ) + ( 4/7 + 12/21 ) + 5
= ( 16/30 + 14/30 ) + ( 12/21 + 12/21 ) + 5
= 30/30 + 24/21 + 5
= 1 + 24/21 + 5
= ( 1 + 5 ) + 24/21
= 6 + 24/21
= 150/21
= 50/7
a) \(15-5\left|x+4\right|=-12-3\)
\(\Leftrightarrow5\left|x+4\right|=30\)
\(\Leftrightarrow\left|x+4\right|=6\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+4=6\\x+4=-6\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-10\end{cases}}\)
b) \(\left(4x-8\right)\left(7-x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}4x-8=0\\7-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=7\end{cases}}\)
c) \(\left(x^2-36\right)\left(x^2+5\right)=0\Rightarrow\left(x-6\right)\left(x+6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-6=0\\x+6=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=-6\end{cases}}\)
d) \(-3\left(x+7\right)-11=2\left(x+5\right)\)
\(\Leftrightarrow-3x-32=2x+10\)
\(\Leftrightarrow5x=-42\Rightarrow x=-\frac{42}{5}\)
a)= ( 81 , 6 x 27 , 3 – 17 , 3 x 81 , 6 ) x 0
=0 ( vì 0 nhân với số nào cũng bằng 0)
b)= ( 13 , 75 – 0 , 48 x 5 ) x ( 42 , 75 : 3 + 2 , 9 ) x ( 9-9)
= ( 13 , 75 – 0 , 48 x 5 ) x ( 42 , 75 : 3 + 2 , 9 ) x 0
= 0 ( vì 0 nhân với số nào cũng bằng 0)
c)=( 792 , 81 x 0 , 25 + 792 , 81 x 0 , 75 ) x 0
=0 ( vì 0 nhân với số nào cũng bằng 0 )
a ) ( 81 , 6 x 27 , 3 – 17 , 3 x 81 , 6 ) x ( 32 x 11 - 3200 x 0 , 1 - 32 )
= ( 81 , 6 x 27 , 3 – 17 , 3 x 81 , 6 ) x ( 352 - 320 - 32 )
= ( 81 , 6 x 27 , 3 – 17 , 3 x 81 , 6 ) x 0
= 0.
b ) ( 13 , 75 – 0 , 48 x 5 ) x ( 42 , 75 : 3 + 2 , 9 ) x ( 1 , 8 x 5 – 0 , 9 x 10 )
= ( 13 , 75 – 0 , 48 x 5 ) x ( 42 , 75 : 3 + 2 , 9 ) x ( 9 - 9 )
= ( 13 , 75 – 0 , 48 x 5 ) x ( 42 , 75 : 3 + 2 , 9 ) x 0
= 0
c ) ( 792 , 81 x 0 , 25 + 792 , 81 x 0 , 75 ) x ( 11 x 9 – 900 x 0 , 1 – 9 )
= ( 792 , 81 x 0 , 25 + 792 , 81 x 0 , 75 ) x ( 99 - 90 - 9 )
= ( 792 , 81 x 0 , 25 + 792 , 81 x 0 , 75 ) x 0
= 0.
Hok tốt !
1) (x-17)*17=0
x-17=0
x=17
2) 32(x-11)=32
x-11=1
x=12
3) (x-25)-75=0
x-25=75
x=3
4) 575-(6*x+70)=445
6*x+70=130
6*x=60
x=10
5) 315+(125-x)=435
125-x=120
x=5
6) x-105:21=15
x-5=15
x=20
7) (x-105):21=15
x-105=315
x=420
8) (x-38):19=12
x-38=228
x=266
9) (x-15)*(x-19)=0
=>x-15=0 hoặc x-19=0
x=15 hoặc x=19
10) 96-3(x+1)=42
3(x+1)=54
x+1=18
x=17
a) ( x - 17 ) . 17 = 0
=> x - 17 = 0 : 17
=> x - 17 = 0
=> x = 0 + 17
=> x = 17
b) 32 . ( x - 11 ) = 32
=> x - 11 = 32 : 32
=> x - 11 = 1
=> x = 1 + 11
=> x = 12
c) ( x - 25 ) - 75 = 0
=> x - 25 = 0 + 75
=> x - 25 = 75
=> x = 75 + 25
=> x = 100
d) 575 - ( 6 . x + 70 ) = 445
=> 6 . x + 70 = 575 - 445
=> 6 . x + 70 = 130
=> 6 . x = 130 - 70
=> 6 . x = 60
=> x = 60 : 6
=> x = 10
e) 315 + ( 125 - x ) = 435
=> 125 - x = 435 - 315
=> 125 - x = 120
=> x = 125 - 120
=> x = 5
f) x - 105 : 21 = 15
=> x - 5 = 15
=> x = 15 + 5
=> x = 20
g) ( x - 105 ) : 21 = 15
=> x -105 = 15 . 21
=> x - 105 = 315
=> x = 315 + 105
=> x = 420
h) ( x - 38 ) : 19 = 12
=> x - 38 = 12 . 19
=> x - 38 = 228
=> x = 228 + 38
=> x = 266
i) ( x - 15 ) . ( x - 19 ) = 0
=> x - 15 = 0 => x = 0 + 15 => x = 15
x - 19 = 0 => x = 0 + 19 = x = 19
=> x = 15 ; 19
j) 96 - 3( x + 1 ) = 42
=> 3( x + 1 ) = 96 - 42
=> 3( x + 1 ) = 54
=> x + 1 = 54 : 3
=> x + 1 = 18
=> x = 18 - 1
=> x = 17
1, 2x - 35 = 15
2x = 15 + 35
2x = 50
x = 50 : 2
x = 25.
2, 3x + 18 = 12
3x = 12 - 18
3x = -6
x = -6 : 3
x = -2.
3, / x - 1 / = 0
=> x \(\in\varnothing\).
4, -13 /x/ = - 26
/x/ = -26 : -13
=> \(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-2\end{cases}}\)
Vậy x \(\in\){ 2 ; -2}.
5,4 - ( 27 - 3 ) = x - ( 13 - 4 )
4 - 24 = x - 9
-20 = x - 9
-x = 9 + 20
-x = 29
x = -29.
6, 47 - ( x + 15 ) = 21
47 - x - 15 = 21
-x - 15 = 21 - 47
-x - 15 = -26
-x = -26 + 15
-x = - 11
x = 11.
7, -5 -( 24 - x) = - 11
-5 - 24 + x = -11
-24 + x = -11 + 5
-24 + x = -6
x = -6 + 24
x = 18.
8, 6 - /x/ = 2
/x/ = 6 - 2
\(\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-3\end{cases}}\)
Vậy x \(\in\left\{3;-3\right\}.\)
9, 6 + /x/ = 2
/x/ = 2 - 6
=> x = -4.
2x - 35 = 15
=> 2x = 15 + 35
=> x = 50 : 2
=> x = 25
3x + 18 = 12
=> 3x = 12 - 18
=> x = ( -6 ) : 3
=> x = -2
| x - 1 | = 0
=> x - 1 = 0
=> x = 0 + 1
=> x = 1
-13 * | x | = -26
=> | x | = -26 : ( -13 )
=> | x | = 2
Bằng 6 đúng không.
Bấm đúng cho mình đi làm ơn please.
Bằng 6 đúng không.
k cho mình đi làm ơn please.
Bằng 6 đúng không.
k cho mình đi làm ơn please.
trò mèo
n như thế này:
Mì
Dạng toán học (đẹp, dùng LaTeX):
\(\frac{3}{4}\)
(nghĩa là ba phần tư)
Dạng toán học (đẹp, dùng LaTeX):
[
\frac{3}{4}
]
(nghĩa là ba phần tư)
\[
\frac{3}{4}
\]
giáo khoa:
$$\frac{1}{5}$$
Thực c
ít nhất một lớp có
\(\lceil \frac{600}{9} \rceil = 67\) số.
Hai số trong cùng l
🔹 Phân tích bài toán
Đề bài:
Cho các số thực dương \(a , b , c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 2\).
Chứng minh rằng:
\(\frac{a b}{\sqrt{2 c + a b}} + \frac{b c}{\sqrt{2 a + b c}} + \frac{c a}{\sqrt{2 b + c a}} \leq 1\)
🔹 Hướng giải quyết
Đây là một bài toán chứng minh bất đẳng thức.
Ta thấy các biến \(a , b , c\) có vai trò như nhau trong biểu thức (vai trò hoán vị vòng quanh).
Điều kiện \(a + b + c = 2\) là mấu chốt quan trọng.
Ta sẽ sử dụng điều kiện này để biến đổi các biểu thức dưới dấu căn sao cho chúng trở nên đơn giản hơn và có thể áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc.
Bất đẳng thức cần dùng ở đây là Bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) – một công cụ rất mạnh và quen thuộc ở lớp 9.
🔹 Bài giải chi tiết
Bước 1. Biến đổi biểu thức dưới dấu căn
Ta sử dụng giả thiết \(a + b + c = 2\) để biến đổi các mẫu số.
Xét mẫu số đầu tiên:
\(\sqrt{2 c + a b}\)
Thay \(2 = a + b + c\) vào:
\(2 c + a b = \left(\right. a + b + c \left.\right) c + a b = a c + b c + c^{2} + a b\) \(= \left(\right. a c + a b \left.\right) + \left(\right. b c + c^{2} \left.\right) = a \left(\right. b + c \left.\right) + c \left(\right. b + c \left.\right) = \left(\right. a + c \left.\right) \left(\right. b + c \left.\right)\)
Tương tự:
\(2 a + b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) a + b c = a^{2} + a b + a c + b c = \left(\right. a + c \left.\right) \left(\right. a + b \left.\right)\) \(2 b + c a = \left(\right. a + b + c \left.\right) b + c a = b^{2} + a b + b c + c a = \left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b \left.\right)\)
Bước 2. Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh
Sau khi biến đổi, ta có:
\(\frac{a b}{\sqrt{\left(\right. a + c \left.\right) \left(\right. b + c \left.\right)}} + \frac{b c}{\sqrt{\left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a + c \left.\right)}} + \frac{c a}{\sqrt{\left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b \left.\right)}} \leq 1\)
Đặt:
\(P = \frac{a b}{\sqrt{\left(\right. a + c \left.\right) \left(\right. b + c \left.\right)}} + \frac{b c}{\sqrt{\left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a + c \left.\right)}} + \frac{c a}{\sqrt{\left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b \left.\right)}}\)
Bước 3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
Với \(x , y > 0\), ta có:
\(\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}\)
Áp dụng cho từng số hạng của \(P\):
Số hạng thứ nhất:
\(\frac{a b}{\sqrt{\left(\right. a + c \left.\right) \left(\right. b + c \left.\right)}} = \sqrt{\frac{a b}{a + c} \cdot \frac{a b}{b + c}}\)
Theo AM-GM:
\(\sqrt{\frac{a b}{a + c} \cdot \frac{a b}{b + c}} \leq \frac{1}{2} \left(\right. \frac{a b}{a + c} + \frac{a b}{b + c} \left.\right)\)
Số hạng thứ hai:
\(\frac{b c}{\sqrt{\left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a + c \left.\right)}} = \sqrt{\frac{b c}{a + b} \cdot \frac{b c}{a + c}}\) \(\Rightarrow \frac{b c}{\sqrt{\left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a + c \left.\right)}} \leq \frac{1}{2} \left(\right. \frac{b c}{a + b} + \frac{b c}{a + c} \left.\right)\)
Số hạng thứ ba:
\(\frac{c a}{\sqrt{\left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b \left.\right)}} = \sqrt{\frac{c a}{b + c} \cdot \frac{c a}{a + b}}\) \(\Rightarrow \frac{c a}{\sqrt{\left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + b \left.\right)}} \leq \frac{1}{2} \left(\right. \frac{c a}{b + c} + \frac{c a}{a + b} \left.\right)\)
Bước 4. Cộng các vế và rút gọn
Cộng ba bất đẳng thức trên:
\(P \leq \frac{1}{2} \left[\right. \frac{a b}{a + c} + \frac{a b}{b + c} + \frac{b c}{a + b} + \frac{b c}{a + c} + \frac{c a}{b + c} + \frac{c a}{a + b} \left]\right.\)
Nhóm các phân số có cùng mẫu:
\(P \leq \frac{1}{2} \left[\right. \frac{a b + b c}{a + c} + \frac{a b + c a}{b + c} + \frac{b c + c a}{a + b} \left]\right.\) \(P \leq \frac{1}{2} \left[\right. \frac{b \left(\right. a + c \left.\right)}{a + c} + \frac{a \left(\right. b + c \left.\right)}{b + c} + \frac{c \left(\right. a + b \left.\right)}{a + b} \left]\right.\)
Rút gọn:
\(P \leq \frac{1}{2} \left(\right. a + b + c \left.\right)\)
Bước 5. Kết luận
Theo giả thiết \(a + b + c = 2\), nên:
\(P \leq \frac{1}{2} \times 2 = 1\)
Vậy ta đã chứng minh được:
\(\boxed{\frac{a b}{\sqrt{2 c + a b}} + \frac{b c}{\sqrt{2 a + b c}} + \frac{c a}{\sqrt{2 b + c a}} \leq 1}\)
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Dấu “=” trong AM-GM xảy ra khi các số bằng nhau.
\(\frac{a b}{a + c} = \frac{a b}{b + c} \Rightarrow a = b\) \(\frac{b c}{a + b} = \frac{b c}{a + c} \Rightarrow b = c\) \(\frac{c a}{b + c} = \frac{c a}{a + b} \Rightarrow c = a\)
Vậy \(a = b = c\).
Kết hợp với \(a + b + c = 2 \Rightarrow 3 a = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{3}\).
Do đó, dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \frac{2}{3}\).
🔹 Lời khuyên
Ở đây, việc thay \(2 = a + b + c\) vào mẫu số là bước đột phá.
AM-GM (Cô-si) và Cauchy–Schwarz là công cụ cực kỳ hữu ích cho các bài chứng minh bất đẳng thức ở cấp THCS.
Hãy viết lại biểu thức dưới nhiều dạng khác nhau.
Ví dụ, viết lại \(X = \sqrt{X \cdot X}\) giúp ta áp dụng AM-GM hiệu quả hơn.
Phân tích bài toán
Bài giải chi tiết
Đề bài cho công thức tính độ sâu \(h\) (mét) của mực nước con sông tại thời điểm \(t\) (giờ) là:
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)
Bài toán yêu cầu tính độ sâu của mực nước tại thời điểm 9 giờ sáng.
Bước 1: Xác định giá trị của biến số \(t\)
Thời điểm cần tính là 9 giờ sáng, tương ứng với giá trị \(t = 9\).
Bước 2: Thay giá trị của \(t\) vào công thức
Ta thay \(t = 9\) vào công thức tính \(h\), ta được:
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi \cdot 9}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)
Bước 3: Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc của hàm sin
Ta thực hiện phép tính trong ngoặc:
\(\frac{\pi \cdot 9}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{3}\)
Để cộng hai phân số này, ta quy đồng mẫu số (mẫu số chung là 6):
\(\frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3 \pi \cdot 3}{6} + \frac{\pi \cdot 2}{6} = \frac{9 \pi}{6} + \frac{2 \pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}\)
Khi đó, biểu thức trở thành:
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) + 5\)
Bước 4: Tính giá trị của hàm sin
Ta cần tính giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\).
Ta có thể biến đổi góc \(\frac{11 \pi}{6}\) như sau:
\(\frac{11 \pi}{6} = 2 \pi - \frac{\pi}{6}\)
Áp dụng công thức lượng giác \(sin \left(\right. 2 \pi - \alpha \left.\right) = - sin \left(\right. \alpha \left.\right)\), ta có:
\(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = sin \left(\right. 2 \pi - \frac{\pi}{6} \left.\right) = - sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right)\)
Vì \(sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right) = \frac{1}{2}\) (đây là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt), nên:
\(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = - \frac{1}{2}\)
Bước 5: Hoàn thành phép tính cuối cùng để tìm \(h\)
Bây giờ, ta thay giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\) vừa tìm được vào biểu thức của \(h\):
\(h = - 4 \cdot \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right) + 5\)
\(h = 2 + 5\)
\(h = 7\)
Kết luận:
Vậy, độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng là 7 mét.
Lời khuyên
Chúc bạn học tốt
Phân tích bài toán
htại một giá trịtcụ thể. Cụ thể là tính độ sâu của mực nước (h) tại thời điểm 9 giờ sáng (t=9).Bài giải chi tiết
Đề bài cho công thức tính độ sâu
h(mét) của mực nước con sông tại thời điểmt(giờ) là: \(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)Bài toán yêu cầu tính độ sâu của mực nước tại thời điểm 9 giờ sáng.
Bước 1: Xác định giá trị của biến số
tThời điểm cần tính là 9 giờ sáng, tương ứng với giá trị \(t = 9\).
Bước 2: Thay giá trị của
tvào công thứcTa thay \(t = 9\) vào công thức tính
h, ta được: \(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi \cdot 9}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)Bước 3: Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc của hàm sin
Ta thực hiện phép tính trong ngoặc: \(\frac{\pi \cdot 9}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{3}\)
Để cộng hai phân số này, ta quy đồng mẫu số (mẫu số chung là 6): \(\frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3 \pi \cdot 3}{6} + \frac{\pi \cdot 2}{6} = \frac{9 \pi}{6} + \frac{2 \pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}\)
Khi đó, biểu thức trở thành: \(h = - 4 sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) + 5\)
Bước 4: Tính giá trị của hàm sin
Ta cần tính giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\). Ta có thể biến đổi góc \(\frac{11 \pi}{6}\) như sau: \(\frac{11 \pi}{6} = 2 \pi - \frac{\pi}{6}\)
Áp dụng công thức lượng giác \(sin \left(\right. 2 \pi - \alpha \left.\right) = - sin \left(\right. \alpha \left.\right)\), ta có: \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = sin \left(\right. 2 \pi - \frac{\pi}{6} \left.\right) = - sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right)\)
Vì \(sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right) = \frac{1}{2}\) (đây là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt), nên: \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = - \frac{1}{2}\)
Bước 5: Hoàn thành phép tính cuối cùng để tìm
hBây giờ, ta thay giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\) vừa tìm được vào biểu thức của
h: \(h = - 4 \cdot \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right) + 5\) \(h = 2 + 5\) \(h = 7\)Kết luận:
Vậy, độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng là 7 mét.
Lời khuyên
hlà độ sâu,tlà thời gian) và giá trị cần thay thế.Chúc bạn học tốt
Chào bạn, tôi đã nhận được yêu cầu của bạn. Tôi sẽ giải bài tập này một cách chính xác và hợp lý theo đúng trình tự.
Trước tiên, chúng ta cùng phân tích bài toán.
Phân tích bài toán
htại một giá trịtcụ thể. Cụ thể là tính độ sâu của mực nước (h) tại thời điểm 9 giờ sáng (t=9).Bài giải chi tiết
Đề bài cho công thức tính độ sâu
h(mét) của mực nước con sông tại thời điểmt(giờ) là: \(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)Bài toán yêu cầu tính độ sâu của mực nước tại thời điểm 9 giờ sáng.
Bước 1: Xác định giá trị của biến số
tThời điểm cần tính là 9 giờ sáng, tương ứng với giá trị \(t = 9\).
Bước 2: Thay giá trị của
tvào công thứcTa thay \(t = 9\) vào công thức tính
h, ta được: \(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi \cdot 9}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)Bước 3: Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc của hàm sin
Ta thực hiện phép tính trong ngoặc: \(\frac{\pi \cdot 9}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{3}\)
Để cộng hai phân số này, ta quy đồng mẫu số (mẫu số chung là 6): \(\frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3 \pi \cdot 3}{6} + \frac{\pi \cdot 2}{6} = \frac{9 \pi}{6} + \frac{2 \pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}\)
Khi đó, biểu thức trở thành: \(h = - 4 sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) + 5\)
Bước 4: Tính giá trị của hàm sin
Ta cần tính giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\). Ta có thể biến đổi góc \(\frac{11 \pi}{6}\) như sau: \(\frac{11 \pi}{6} = 2 \pi - \frac{\pi}{6}\)
Áp dụng công thức lượng giác \(sin \left(\right. 2 \pi - \alpha \left.\right) = - sin \left(\right. \alpha \left.\right)\), ta có: \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = sin \left(\right. 2 \pi - \frac{\pi}{6} \left.\right) = - sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right)\)
Vì \(sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right) = \frac{1}{2}\) (đây là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt), nên: \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = - \frac{1}{2}\)
Bước 5: Hoàn thành phép tính cuối cùng để tìm
hBây giờ, ta thay giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\) vừa tìm được vào biểu thức của
h: \(h = - 4 \cdot \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right) + 5\) \(h = 2 + 5\) \(h = 7\)Kết luận:
Vậy, độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng là 7 mét.
Lời khuyên
hlà độ sâu,tlà thời gian) và giá trị cần thay thế.Chúc bạn học tốt
Chào bạn, tôi đã nhận được yêu cầu của bạn. Dưới đây là bài giải chi tiết cho câu 2.
Phân tích và xác định dạng bài toán
Sau khi tìm kiếm và phân tích, bài toán này thuộc dạng ứng dụng của hàm số lượng giác vào thực tiễn, một chủ đề thường gặp trong chương trình Toán lớp 11, chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Cụ thể, bài toán sử dụng hàm số sin để mô tả một hiện tượng dao động điều hòa trong thực tế là sự thay đổi của thủy triều.
Bài giải chi tiết Câu 2
Đề bài: Mực nước của một con sông hằng ngày lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h \left(\right. m \left.\right)\) của mực nước con sông tại thời điểm \(t\) (giờ) trong một ngày \(\left(\right. 0 \leq t \leq 24 \left.\right)\) được tính theo công thức: \(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\). Tính độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng?
Lời giải:
Để tính độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng, ta chỉ cần thay giá trị \(t = 9\) vào công thức đã cho.
Bước 1: Thay giá trị của \(t\) vào công thức
Với \(t = 9\) (tức 9 giờ sáng), công thức độ sâu mực nước trở thành:
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi \cdot 9}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)
Bước 2: Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc của hàm sin
Ta tiến hành quy đồng và cộng hai phân số trong ngoặc:
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)
Để cộng hai phân số, ta quy đồng mẫu số (mẫu số chung là 6):
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{3 \pi \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{\pi \cdot 2}{3 \cdot 2} \left.\right) + 5\)
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{9 \pi}{6} + \frac{2 \pi}{6} \left.\right) + 5\)
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) + 5\)
Bước 3: Tính giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\)
Góc \(\frac{11 \pi}{6}\) là một góc đặc biệt trong đường tròn lượng giác. Ta có thể biểu diễn nó như sau:
\(\frac{11 \pi}{6} = 2 \pi - \frac{\pi}{6}\)
Áp dụng công thức lượng giác \(sin \left(\right. 2 \pi - \alpha \left.\right) = - sin \left(\right. \alpha \left.\right)\), ta có:
\(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = sin \left(\right. 2 \pi - \frac{\pi}{6} \left.\right) = - sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right)\)
Vì \(sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right) = \frac{1}{2}\), nên:
\(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = - \frac{1}{2}\)
Bước 4: Thay giá trị vừa tính vào biểu thức và tìm kết quả cuối cùng
Bây giờ, ta thay giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\) vào biểu thức tính \(h\):
\(h = - 4 \cdot \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right) + 5\)
\(h = 2 + 5\)
\(h = 7\)
Kết luận:
Vậy, độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng là 7 mét.
Lời khuyên và lưu ý
Chúc bạn học tốt
Phân tích và xác định dạng bài toán
Sau khi tìm kiếm và phân tích, bài toán này thuộc dạng ứng dụng của hàm số lượng giác vào thực tiễn, một chủ đề thường gặp trong chương trình Toán lớp 11, chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Cụ thể, bài toán sử dụng hàm số sin để mô tả một hiện tượng dao động điều hòa trong thực tế là sự thay đổi của thủy triều.
Bài giải chi tiết Câu 2
Đề bài: Mực nước của một con sông hằng ngày lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h \left(\right. m \left.\right)\) của mực nước con sông tại thời điểm \(t\) (giờ) trong một ngày \(\left(\right. 0 \leq t \leq 24 \left.\right)\) được tính theo công thức: \(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\). Tính độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng?
Lời giải:
Để tính độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng, ta chỉ cần thay giá trị \(t = 9\) vào công thức đã cho.
Bước 1: Thay giá trị của \(t\) vào công thức
Với \(t = 9\) (tức 9 giờ sáng), công thức độ sâu mực nước trở thành:
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{\pi \cdot 9}{6} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)
Bước 2: Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc của hàm sin
Ta tiến hành quy đồng và cộng hai phân số trong ngoặc:
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{3} \left.\right) + 5\)
Để cộng hai phân số, ta quy đồng mẫu số (mẫu số chung là 6):
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{3 \pi \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{\pi \cdot 2}{3 \cdot 2} \left.\right) + 5\)
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{9 \pi}{6} + \frac{2 \pi}{6} \left.\right) + 5\)
\(h = - 4 sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) + 5\)
Bước 3: Tính giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\)
Góc \(\frac{11 \pi}{6}\) là một góc đặc biệt trong đường tròn lượng giác. Ta có thể biểu diễn nó như sau:
\(\frac{11 \pi}{6} = 2 \pi - \frac{\pi}{6}\)
Áp dụng công thức lượng giác \(sin \left(\right. 2 \pi - \alpha \left.\right) = - sin \left(\right. \alpha \left.\right)\), ta có:
\(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = sin \left(\right. 2 \pi - \frac{\pi}{6} \left.\right) = - sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right)\)
Vì \(sin \left(\right. \frac{\pi}{6} \left.\right) = \frac{1}{2}\), nên:
\(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right) = - \frac{1}{2}\)
Bước 4: Thay giá trị vừa tính vào biểu thức và tìm kết quả cuối cùng
Bây giờ, ta thay giá trị của \(sin \left(\right. \frac{11 \pi}{6} \left.\right)\) vào biểu thức tính \(h\):
\(h = - 4 \cdot \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right) + 5\)
\(h = 2 + 5\)
\(h = 7\)
Kết luận:
Vậy, độ sâu của mực nước con sông tại thời điểm 9 giờ sáng là 7 mét.
Lời khuyên và lưu ý
Phân tích bài toán
Đề bài: Cho các số thực dương \(a , b , c\) thỏa mãn \(a b c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{4} \left(\right. c^{2} + a^{2} \left.\right)}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{4} \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right)}{a^{3} + 2 b^{3}}\)
Hướng tư duy:
Bài làm chi tiết
Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức P bằng Bất đẳng thức AM-GM
Xét phân thức đầu tiên: \(\frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}}\).
Ta có một đánh giá quen thuộc từ Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) cho hai số không âm \(x , y\) là \(x + y \geq 2 \sqrt{x y}\).
Áp dụng cho \(b^{2}\) và \(c^{2}\), ta có:
\(b^{2} + c^{2} \geq 2 \sqrt{b^{2} c^{2}}\)
Vì \(b , c\) là các số thực dương nên \(\sqrt{b^{2} c^{2}} = b c\).
\(\Longrightarrow b^{2} + c^{2} \geq 2 b c\)
Thay đánh giá này vào phân thức đầu tiên của \(P\), ta có:
\(\frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq \frac{a^{4} \left(\right. 2 b c \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}}\)
Bây giờ, ta sử dụng giả thiết của bài toán là \(a b c = 1\). Từ đây, ta suy ra \(b c = \frac{1}{a}\).
Thay \(b c = \frac{1}{a}\) vào bất đẳng thức trên:
\(\frac{a^{4} \left(\right. 2 b c \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} = \frac{a^{4} \cdot 2 \cdot \frac{1}{a}}{b^{3} + 2 c^{3}} = \frac{2 a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}}\)
Như vậy, ta đã chứng minh được:
\(\frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq \frac{2 a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} \left(\right. 1 \left.\right)\)
Tương tự, bằng cách hoán vị vòng quanh các biến \(a , b , c\), ta cũng có:
\(\frac{b^{4} \left(\right. c^{2} + a^{2} \left.\right)}{c^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{2 b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} \left(\right. 2 \left.\right)\)
\(\frac{c^{4} \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right)}{a^{3} + 2 b^{3}} \geq \frac{2 c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}} \left(\right. 3 \left.\right)\)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(P \geq \frac{2 a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{2 b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{2 c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\)
\(P \geq 2 \left(\right. \frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}} \left.\right)\)
Đặt \(S = \frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\). Bài toán bây giờ trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\).
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của S bằng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel
Biểu thức \(S\) có dạng tổng các phân thức, rất phù hợp để áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel (còn gọi là BĐT Svac-xơ):
Với các số thực dương \(x_{1} , x_{2} , . . . , x_{n}\) và \(y_{1} , y_{2} , . . . , y_{n}\), ta có:
\(\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{y_{2}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x_{n}^{2}}{y_{n}}\geq\frac{\left(\right.x_1+x_2+\cdot\cdot\cdot+x_{n}\left.\right)^2}{y_1+y_2+\cdot\cdot\cdot+y_{n}}\)
Để áp dụng được, ta cần biến đổi tử số của các phân thức trong \(S\) thành dạng bình phương.
Ta viết lại \(S\) như sau:
\(S = \frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\)
\(S = \frac{a^{6}}{a^{3} \left(\right. b^{3} + 2 c^{3} \left.\right)} + \frac{b^{6}}{b^{3} \left(\right. c^{3} + 2 a^{3} \left.\right)} + \frac{c^{6}}{c^{3} \left(\right. a^{3} + 2 b^{3} \left.\right)}\)
\(S = \frac{\left(\right. a^{3} \left.\right)^{2}}{a^{3} b^{3} + 2 a^{3} c^{3}} + \frac{\left(\right. b^{3} \left.\right)^{2}}{b^{3} c^{3} + 2 b^{3} a^{3}} + \frac{\left(\right. c^{3} \left.\right)^{2}}{c^{3} a^{3} + 2 c^{3} b^{3}}\)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(S \geq \frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{\left(\right. a^{3} b^{3} + 2 a^{3} c^{3} \left.\right) + \left(\right. b^{3} c^{3} + 2 b^{3} a^{3} \left.\right) + \left(\right. c^{3} a^{3} + 2 c^{3} b^{3} \left.\right)}\)
\(S \geq \frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)}\)
Bây giờ, ta cần đánh giá biểu thức \(\frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)}\).
Ta sử dụng một bất đẳng thức phụ quen thuộc: Với mọi \(x , y , z\), ta có \(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\).
Chứng minh nhanh BĐT phụ: \(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x = \frac{1}{2} \left(\right. \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} \left.\right) \geq 0\).
Áp dụng BĐT phụ này với \(x = a^{3} , y = b^{3} , z = c^{3}\), ta được:
\(\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)\)
\(\Longrightarrow \frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)} \geq \frac{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)} = 1\)
Vậy, ta có \(S \geq 1\).
Bước 3: Kết hợp các kết quả và kết luận
Từ Bước 1, ta có \(P \geq 2 S\).
Từ Bước 2, ta có \(S \geq 1\).
Kết hợp lại, ta được:
\(P \geq 2 \cdot 1 = 2\)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\).
Bước 4: Xét điều kiện xảy ra dấu bằng
Để \(P = 2\), các dấu “=” trong các bất đẳng thức ta đã dùng phải đồng thời xảy ra.
\(\begin{cases}b^2=c^2\\ c^2=a^2\\ a^2=b^2\end{cases}\implies a=b=c\) ( vì a,b,c dương)
\(\frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} = \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} = \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\) và \(a^{3} = b^{3} = c^{3}\).
Cả hai điều kiện này đều dẫn đến \(a = b = c\).
Kết hợp với giả...
Phân tích bài toán
Đề bài: Cho các số thực dương \(a , b , c\) thỏa mãn \(a b c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{4} \left(\right. c^{2} + a^{2} \left.\right)}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{4} \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right)}{a^{3} + 2 b^{3}}\)
Hướng tư duy:
Bài làm chi tiết
Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức P bằng Bất đẳng thức AM-GM
Xét phân thức đầu tiên: \(\frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}}\).
Ta có một đánh giá quen thuộc từ Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) cho hai số không âm \(x , y\) là \(x + y \geq 2 \sqrt{x y}\).
Áp dụng cho \(b^{2}\) và \(c^{2}\), ta có:
\(b^{2} + c^{2} \geq 2 \sqrt{b^{2} c^{2}}\)
Vì \(b , c\) là các số thực dương nên \(\sqrt{b^{2} c^{2}} = b c\).
\(\Longrightarrow b^{2} + c^{2} \geq 2 b c\)
Thay đánh giá này vào phân thức đầu tiên của \(P\), ta có:
\(\frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq \frac{a^{4} \left(\right. 2 b c \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}}\)
Bây giờ, ta sử dụng giả thiết của bài toán là \(a b c = 1\). Từ đây, ta suy ra \(b c = \frac{1}{a}\).
Thay \(b c = \frac{1}{a}\) vào bất đẳng thức trên:
\(\frac{a^{4} \left(\right. 2 b c \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} = \frac{a^{4} \cdot 2 \cdot \frac{1}{a}}{b^{3} + 2 c^{3}} = \frac{2 a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}}\)
Như vậy, ta đã chứng minh được:
\(\frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq \frac{2 a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} \left(\right. 1 \left.\right)\)
Tương tự, bằng cách hoán vị vòng quanh các biến \(a , b , c\), ta cũng có:
\(\frac{b^{4} \left(\right. c^{2} + a^{2} \left.\right)}{c^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{2 b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} \left(\right. 2 \left.\right)\)
\(\frac{c^{4} \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right)}{a^{3} + 2 b^{3}} \geq \frac{2 c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}} \left(\right. 3 \left.\right)\)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(P \geq \frac{2 a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{2 b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{2 c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\)
\(P \geq 2 \left(\right. \frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}} \left.\right)\)
Đặt \(S = \frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\). Bài toán bây giờ trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\).
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của S bằng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel
Biểu thức \(S\) có dạng tổng các phân thức, rất phù hợp để áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel (còn gọi là BĐT Svac-xơ):
Với các số thực dương \(x_{1} , x_{2} , . . . , x_{n}\) và \(y_{1} , y_{2} , . . . , y_{n}\), ta có:
\(\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{y_{2}}+\ldots+\frac{x_{n}^{2}}{y_{n}}\geq\frac{\left(\right.x_1+x_2+\ldots+x_{n}\left.\right)^2}{y_1+y_2+\ldots+y_{n}}\)
Để áp dụng được, ta cần biến đổi tử số của các phân thức trong \(S\) thành dạng bình phương.
Ta viết lại \(S\) như sau:
\(S = \frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\)
\(S = \frac{a^{6}}{a^{3} \left(\right. b^{3} + 2 c^{3} \left.\right)} + \frac{b^{6}}{b^{3} \left(\right. c^{3} + 2 a^{3} \left.\right)} + \frac{c^{6}}{c^{3} \left(\right. a^{3} + 2 b^{3} \left.\right)}\)
\(S = \frac{\left(\right. a^{3} \left.\right)^{2}}{a^{3} b^{3} + 2 a^{3} c^{3}} + \frac{\left(\right. b^{3} \left.\right)^{2}}{b^{3} c^{3} + 2 b^{3} a^{3}} + \frac{\left(\right. c^{3} \left.\right)^{2}}{c^{3} a^{3} + 2 c^{3} b^{3}}\)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(S \geq \frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{\left(\right. a^{3} b^{3} + 2 a^{3} c^{3} \left.\right) + \left(\right. b^{3} c^{3} + 2 b^{3} a^{3} \left.\right) + \left(\right. c^{3} a^{3} + 2 c^{3} b^{3} \left.\right)}\)
\(S \geq \frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)}\)
Bây giờ, ta cần đánh giá biểu thức \(\frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)}\).
Ta sử dụng một bất đẳng thức phụ quen thuộc: Với mọi \(x , y , z\), ta có \(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\).
Chứng minh nhanh BĐT phụ: \(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x = \frac{1}{2} \left(\right. \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} \left.\right) \geq 0\).
Áp dụng BĐT phụ này với \(x = a^{3} , y = b^{3} , z = c^{3}\), ta được:
\(\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)\)
\(\Longrightarrow \frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)} \geq \frac{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)} = 1\)
Vậy, ta có \(S \geq 1\).
Bước 3: Kết hợp các kết quả và kết luận
Từ Bước 1, ta có \(P \geq 2 S\).
Từ Bước 2, ta có \(S \geq 1\).
Kết hợp lại, ta được:
\(P \geq 2 \cdot 1 = 2\)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\).
Bước 4: Xét điều kiện xảy ra dấu bằng
Để \(P = 2\), các dấu “=” trong các bất đẳng thức ta đã dùng phải đồng thời xảy ra.
- Dấu “=” ở Bước 1 (AM-GM) xảy ra khi:
- Dấu “=” ở Bước 2 (Cauchy-Schwarz) xảy ra khi:
...\(\begin{cases} b^2 = c^2 \\ c^2 = a^2 \\ a^2 = b^2 \end{cases} \implies a=b=c\) (vì \(a , b , c\) dương).
\(\frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} = \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} = \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\) và \(a^{3} = b^{3} = c^{3}\).
Cả hai điều kiện này đều dẫn đến \(a = b = c\).
<script>alert('XSS')</script>