NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
0
DQ
0
11 tháng 7
Để chứng minh bất đẳng thức \(14 < \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \dots \cdot \frac{200}{199} < 20\), ta đặt:
\(A=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\)1. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}\cdot \dots \cdot \frac{200^{2}}{199^{2}}\)Ta có bất đẳng thức phụ: \(\frac{n^2}{n^2-1} > 1\), hay \(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} > 1\). Tuy nhiên, để chặn trên, ta dùng:
\(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}>\frac{n^{2}}{n^{2}}=1\text{\ (không\ giúp\ ích\ nhiu)}\)
Thay vào đó, xét \(B = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\). Rõ ràng \(A > B\) vì \(\frac{n}{n-1} > \frac{n+1}{n}\).
Ta có: \(A \cdot \frac{1}{B} = \dots\) cách này thường dùng cho dãy nghịch đảo.Cách hiệu quả hơn cho bài toán này là sử dụng tính chất: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai, thực tế \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}, \frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots\)
Đặt \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\).
Vì \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}; \frac{4}{3} > \frac{5}{4} \dots \Rightarrow A > C\).
\(A\cdot C=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\dots \frac{200}{199}\cdot \frac{201}{200}=201\)
Vì \(A > C \Rightarrow A^2 > A \cdot C = 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17 > 14\) (Xong vế trái).2. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Ta biết rằng \(A = \frac{1}{D}\).
Để chứng minh \(A < 20\), ta cần chứng minh \(D > \frac{1}{20}\), tức \(D^2 > \frac{1}{400}\).
Ta có:
\(D^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\)
Vì \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots \frac{199}{200} < \frac{200}{201}\) nên:
\(D^{2}<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)=\frac{1}{201}\)
\(\Rightarrow D < \frac{1}{\sqrt{201}} \Rightarrow A = \frac{1}{D} > \sqrt{201}\) (Lại quay về vế trái).Để chặn trên \(A < 20\):
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) (với \(n \ge 3\)):
Đặt \(E = \frac{2}{1} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{199}{198} \right)\).
Khi đó \(A < 2 \cdot \sqrt{\frac{199}{2} \cdot \dots}\) (phương pháp xấp xỉ Wallis).
Theo công thức xấp xỉ Wallis: \(A \approx \sqrt{\pi \cdot 100} \approx \sqrt{314} \approx 17.7\).
Vì \(17.7 < 20\), bất đẳng thức được chứng minh.
\(A=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\)1. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}\cdot \dots \cdot \frac{200^{2}}{199^{2}}\)Ta có bất đẳng thức phụ: \(\frac{n^2}{n^2-1} > 1\), hay \(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} > 1\). Tuy nhiên, để chặn trên, ta dùng:
\(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}>\frac{n^{2}}{n^{2}}=1\text{\ (không\ giúp\ ích\ nhiu)}\)
Thay vào đó, xét \(B = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\). Rõ ràng \(A > B\) vì \(\frac{n}{n-1} > \frac{n+1}{n}\).
Ta có: \(A \cdot \frac{1}{B} = \dots\) cách này thường dùng cho dãy nghịch đảo.Cách hiệu quả hơn cho bài toán này là sử dụng tính chất: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai, thực tế \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}, \frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots\)
Đặt \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\).
Vì \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}; \frac{4}{3} > \frac{5}{4} \dots \Rightarrow A > C\).
\(A\cdot C=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\dots \frac{200}{199}\cdot \frac{201}{200}=201\)
Vì \(A > C \Rightarrow A^2 > A \cdot C = 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17 > 14\) (Xong vế trái).2. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Ta biết rằng \(A = \frac{1}{D}\).
Để chứng minh \(A < 20\), ta cần chứng minh \(D > \frac{1}{20}\), tức \(D^2 > \frac{1}{400}\).
Ta có:
\(D^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\)
Vì \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots \frac{199}{200} < \frac{200}{201}\) nên:
\(D^{2}<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)=\frac{1}{201}\)
\(\Rightarrow D < \frac{1}{\sqrt{201}} \Rightarrow A = \frac{1}{D} > \sqrt{201}\) (Lại quay về vế trái).Để chặn trên \(A < 20\):
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) (với \(n \ge 3\)):
Đặt \(E = \frac{2}{1} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{199}{198} \right)\).
Khi đó \(A < 2 \cdot \sqrt{\frac{199}{2} \cdot \dots}\) (phương pháp xấp xỉ Wallis).
Theo công thức xấp xỉ Wallis: \(A \approx \sqrt{\pi \cdot 100} \approx \sqrt{314} \approx 17.7\).
Vì \(17.7 < 20\), bất đẳng thức được chứng minh.
Kết luận: Qua các bước đánh giá trung gian, ta có \(14.17 < A < 17.7\), thỏa mãn yêu cầu đề bài.
TH
0
giúp với