1 cách khác

M = 2⁹⁹ + 2 . 2⁹⁸ + 3 . 2⁹⁷ + 4 . 2⁹⁶ + ... + 98 . 2² + 99 . 2 + 100 . 2⁰

M = 2⁹⁹ + 2 . ( 2⁹⁹ - 2⁹⁸ ) + 3 . ( 2⁹⁸ - 2⁹⁷ ) + 4 . ( 2⁹⁷ - 2⁹⁶ ) + ... + 99 . ( 2² - 2 ) + 100 . ( 2 - 1 )

M = 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ - 2 . 2⁹⁸ + 3 . 2⁹⁸ - 3 . 2⁹⁷ + 4 . 2⁹⁷ - 4. 2⁹⁶ + ... + 99 . 2² - 99 . 2 + 100 . 2 - 100

M = 2¹⁰⁰ + 2⁹⁹ +2⁹⁸ + 2⁹⁷ + 2⁹⁶ + ... + 2 - 100

M  = 2¹⁰¹ - 102

khó thật

\(A=1+6+6^2+...+6^{100}\)

\(6A=6+6^2+6^3+...+6^{101}\)

\(6A-A=\left(6+6^2+...+6^{101}\right)-\left(1+6+...+6^{100}\right)\)

\(5A=6^{101}-1\)

\(A=\frac{6^{101}-1}{5}\)

Hoàn toàn tương tự với các câu b) c)

\(A=1+6+6^2+6^3+...+6^{100}\)

\(6A=6+6^2+6^3+6^4+...+6^{101}\)

\(6A-A=\left(6+6^2+6^3+6^4+...+6^{101}\right)-\left(1+6+6^2+...+6^{100}\right)\)

\(5A=6^{101}-1\)

\(A=\frac{6^{101}-1}{5}\)

a) Ta có:

$S=1-3+3^2-3^3+\cdots+3^{98}-3^{99}$

$=(1-3)+(3^2-3^3)+\cdots+(3^{98}-3^{99})$

$=-2-2\cdot3^2-\cdots-2\cdot3^{98}$

$=-2(1+3^2+3^4+\cdots+3^{98})$

$=-2(1+9+9^2+\cdots+9^{49})$

$=-2\cdot\dfrac{9^{50}-1}{9-1}$

$=-\dfrac{9^{50}-1}{4}$

Muốn $S$ chia hết cho $-20$ thì cần:

$S\vdots20$

Nhưng xét modulo $20$:

$9^2=81\equiv1\pmod{20}$

$9^{50}\equiv1\pmod{20}$

Do đó:

$S=-\dfrac{9^{50}-1}{4}$

Ta có thể tính chính xác modulo $20$ bằng cách xét $9^{50}-1$ modulo $80$:

$9^2=81\equiv1\pmod{80}$

$9^{50}=(9^2)^{25}\equiv1\pmod{80}$

nên $S$ chia hết cho $20$.

Vậy: $S\vdots20$

Mà một số chia hết cho $20$ thì cũng chia hết cho $-20$.
b) Tính $S$

Từ: $4S=1-3^{100}$

Suy ra: $S=\dfrac{1-3^{100}}{4}$

Hay: $S=-\dfrac{3^{100}-1}{4}$

Từ đây: $4S=1-3^{100}$

Vì $4S$ chia hết cho $4$ nên:

$1-3^{100}\vdots4$

$3^{100}\equiv1\pmod4$

Vậy $3^{100}$ chia $4$ dư $1$.

a, A = 1 + 2 + 2² + ... + 2⁹⁹

= (1 + 2) + (2² + 2³) + ... + (2⁹⁸ + 2⁹⁹)

= 1(1 + 2) + 2²(1 + 2) + ... + 2⁹⁸(1 + 2)

= 1 . 3 + 2² . 3 + ... + 2⁹⁸ . 3

Vì 3 chia hết cho 3 nên 1 . 3 + 2² . 3 + ... + 2⁹⁸ . 3 chia hết cho 3

hay A chia hết cho 3   (đpcm)

b, A = 1 + 2 + 2² + ... + 2⁹⁹

= (1 + 2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + ... + (2⁹⁶ + 2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹)

= 1 . 15 + 2⁴ . 15 + ... + 2⁹⁶ . 15

Vì 15 chia hết cho 15 nên 1 . 15 + 2⁴ . 15 + ... + 2⁹⁶ . 15 chia hết cho 15

hay A chia hết cho 15  (đpcm)

Tiếp bài của @trankhanhvy2008

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹

2A = 2( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ )

     = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰

2A - A = ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰ ) - ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ )

 => A   =  2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰ - 1 - 2 - 2² - 2³ - 2⁴ - ... - 2⁹⁹

           = 2¹⁰⁰ - 1

2¹⁰⁰ - 1 <  2¹⁰⁰ 

=> A < 2¹⁰⁰