nham mot ti x=5/2

Giả sử nếu a không phải là số chính phương thì\(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{a}=\frac{m}{n}\)          \(\left(m;n\right)=1\)

Do a không phải là số chính phương nên\(\frac{m}{n}\notin N\)

\(\Rightarrow n>1\)

\(\Rightarrow m^2=n^2.a\)

gọi P là ước nguyên tố nào đó của n

\(m^2\)chia hết cho a ; \(n^2\)chia hết cho a (trái với điều kiện ở trên là m và n nguyên tố cùng nhau)

Vậy nếu a không phải là số chính phương thì\(\sqrt{a}\) là số vô tỉ 

giả sử \(\sqrt{a}\)hữu tỉ,a ko chính phương

\(\Rightarrow\sqrt{a}=\frac{a}{b}\left(b\ne0\right)\Leftrightarrow n=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2=n\times b^2\)

mà a²,b²  là số chính phương

=>n chính phương (sai giả thiết)

=>n ko chính phương =>\(\sqrt{a}\)vô tỉ (Đpcm)

mở sách nâng cao phát triển ra mà coi

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề số chính phương, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp phản chứng như sau:

Giải:

Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ thì ta có: \(\sqrt{a}\) = \(\frac{b}{c}\) (a ≥ 0 b; c ∈ Z\(^{+}\))

⇒ \(\sqrt{a}\) \(^2\) = (\(\frac{b}{c}\))\(^2\)

⇒ a = \(\frac{b^2}{c^2}\)

⇒ ac\(^2\) = b\(^2\)

Vì b; c là số nguyên nên b\(^2\) ; c\(^2\) là số chính phương ⇒ a là số chính phương (theo tính chất của số chính phương)

a là số chính phương vô lý.

Vậy điều giả sử là sai hay a không phải số chính phương thì \(\sqrt{a}\) là số vô tỉ(đpcm)

1. Số chính phương:

Một số tự nhiên \(a\) gọi là số chính phương nếu tồn tại một số tự nhiên \(n\) sao cho \(a = n^{2}\). Ví dụ: 1, 4, 9, 16, 25, ... là các số chính phương.

2. Số vô tỉ:

Một số được gọi là số vô tỉ nếu nó không thể viết dưới dạng \(\frac{p}{q}\), với \(p\) và \(q\) là các số nguyên, \(q \neq 0\). Các ví dụ về số vô tỉ là \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\), v.v.

3. Căn bậc hai của một số tự nhiên không phải là số chính phương:

• Khi \(a\) là một số tự nhiên không phải là số chính phương, nghĩa là không tồn tại một số nguyên \(n\) sao cho \(a = n^{2}\).
• Khi đó, \(\sqrt{a}\) không thể viết dưới dạng \(\frac{p}{q}\), tức là \(\sqrt{a}\) là một số vô tỉ.

4. Chứng minh đơn giản:

Giả sử \(\sqrt{a}\) là một số hữu tỉ, tức là \(\sqrt{a} = \frac{p}{q}\), với \(p\) và \(q\) là các số nguyên và \(q \neq 0\).

Khi bình phương cả hai vế, ta có:

\(a = \frac{p^{2}}{q^{2}}\)

Vậy, \(a\) phải là một số có dạng \(\frac{p^{2}}{q^{2}}\), nghĩa là \(a\) phải là một số chính phương. Tuy nhiên, theo giả thuyết, \(a\) không phải là số chính phương, điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy, kết luận là \(\sqrt{a}\) không thể là một số hữu tỉ, và do đó, nó phải là số vô tỉ.

Kết luận:

Nếu \(a\) là một số tự nhiên không phải là số chính phương, thì \(\sqrt{a}\) là một số vô tỉ.

Gia sư \(\sqrt{a}\) la so huu ti ,nghia la 

\(\sqrt{a}=\frac{m}{n};m,n\in N;n\ne0\) va UCLN(m,n)=1

\(\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow n^2.a=m^2\)

Vì a không phải là số chính phương \(\Rightarrow\frac{m}{n}\notin N\) va \(n>1\) goi p la so nguyen to cua \(n\Rightarrow m^2:p\Rightarrow m:p.\)

Vay p la so nguyen to cua ca m va n .Trái với giả thiết là UCLN(m,n)=1

​                                        Vậy :\(\sqrt{a}\) la so vo ti

Bài giải:

 $\sqrt{a}$Giả sử√a là số hữu tỉ,Ta có:

$\sqrt{a}=\frac{m}{n};m,n\in N;n\ne0$√a=mn ;m,n∈N;n≠0 và UCLN(m,n)=1

$\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow n^2.a=m^2$⇒a=m2n2 ⇒n2.a=m2

Vì A không phải số chính phương  nên suy ra$\Rightarrow\frac{m}{n}\notin N$
mn ∉N va $n>1$n>1.Gọi P là số nguyên tố của:

 $n\Rightarrow m^2:p\Rightarrow m:p.$n⇒m2:p⇒m:p.

Vậy P là số nguyên của cả m và n.Trái với giả thiết UCLN(m,n)=1

​                                        Vậy :$\sqrt{a}$√a là số vô tỉ

Chúc bạn học tốt^_^

ĐK: \(a\inℕ\)

Giả sử \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\)  \(\left(UCLN\left(m,n\right)=1\right)\)

Khi đó \(a^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}\)

Do a là số tự nhiên nên a² là số tự nhiên nên \(m^2⋮n^2\)suy ra  \(m⋮n\)  hay \(UCLN\left(m,n\right)=n\) trái với giả sử \(UCLN\left(m,n\right)=1\)

\(\Rightarrow\) a là số vô tỉ

Hoặc cách khác:

ĐK: a không phải là số chính phương

Suy ra \(a^2\) là số chính phương. Và:\(\sqrt{a^2}=a\) (là một số tự nhiên)

Mặt khác: \(\sqrt{a}\ne a\)

Do vậy \(\sqrt{a}\) là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng:

\(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\left(m,n\in N\right);\left(m,n\right)=1\)

do a không là số chính phương nên m/n không là số tự nhiên =>n>1

ta có:m^2=a.n^2 ,gọi p là ước nguyên tố bất kì của n;thế thì m^2 chia hết cho p

do đó m chia hết cho p

=>p là ước nguyên tố của m và n,trái giả thiết (m,n)=1

vậy  \(\sqrt{a}\) ko là số vô tỉ(đpcm)

tick nha các bạn