Câu 4:

 Gọi số HS là a (a thuộc N, 300 < a < 400)

Theo bài, xếp thành 12, 15, 18 hàng đều dư ra 9 HS

        hay   a : 12, 15, 18 dư 9    => (a - 9) chia hết cho 12, 15, 18  => a - 9 là BC(12,15,18)

12 = 2 mũ 2 x 3             ;                 15 = 3 x 5             ;                        18 = 2 x 3 mũ 2

Thừa số nguyên tố chung và riêng: 2, 3, 5

BCNN(12,15,18) = 2 mũ 2 x 3 mũ 2 x 5 = 180

=> BC(12,15,18) = B(180) = { 0, 180, 360, 540, 720, ... }

=> a - 9 thuộc { 0, 180, 360, 540, 720, ... }

Mà 300 < a < 400   => a - 9 = 360

                                      a = 360 + 9

                                      a = 369

       7n + 10                                                                                                     5n + 7

<=> 5(7n + 10)                                                                                           <=> 7(5n + 7)

<=> 35n + 50                                                                                             <=> 35n + 49

Ta thấy 35n + 50 và 35n là hai số liền nhau

Mà hai số liền nhau luôn có ƯCLN là 1    => 7n + 10 và 5n + 7 nguyên tố cùng nhau

Bài 1: Tìm ƯCLN của $2n+3$ và $4n+3$ ($n \in \mathbb{N}$)

Gọi $d = \text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3)$ ($d \in \mathbb{N}^*$).

Theo tính chất của ước chung, ta có:

- $(2n+3) \vdots d \Rightarrow 2 \cdot (2n+3) \vdots d \Rightarrow (4n+6) \vdots d$

- $(4n+3) \vdots d$

Suy ra:

$[(4n+6) - (4n+3)] \vdots d$

$\Rightarrow (4n + 6 - 4n - 3) \vdots d$

$\Rightarrow 3 \vdots d$

Do $3 \vdots d$ nên $d \in \text{Ư}(3) = \{1; 3\}$.

- Nếu $d = 3 \Rightarrow (2n+3) \vdots 3 \Rightarrow 2n \vdots 3$. Vì $\text{ƯCLN}(2, 3) = 1$ nên $n \vdots 3$.

- Do đó:

+ Khi $n$ chia hết cho 3 (tức $n = 3k$ với $k \in \mathbb{N}$) thì $\text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3) = 3$.

+ Khi $n$ không chia hết cho 3 (tức $n$ không có dạng $3k$) thì $\text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3) = 1$.

Kết luận:

- Nếu $n \vdots 3$ thì $\text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3) = 3$.

- Nếu $n \not\vdots 3$ thì $\text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3) = 1$.

Bài 2: Chứng minh $7n+10$ và $5n+7$ là hai số nguyên tố cùng nhau ($n \in \mathbb{N}$)

Gọi $d = \text{ƯCLN}(7n+10, 5n+7)$ ($d \in \mathbb{N}^*$).

Theo bài ra ta có:

- $(7n+10) \vdots d \Rightarrow 5 \cdot (7n+10) \vdots d \Rightarrow (35n + 50) \vdots d$

- $(5n+7) \vdots d \Rightarrow 7 \cdot (5n+7) \vdots d \Rightarrow (35n + 49) \vdots d$

Suy ra:

$[(35n + 50) - (35n + 49)] \vdots d$

$\Rightarrow (35n + 50 - 35n - 49) \vdots d$

$\Rightarrow 1 \vdots d$

Vì $1 \vdots d$ và $d \in \mathbb{N}^*$ nên $d = 1$.

Vì $\text{ƯCLN}(7n+10, 5n+7) = 1$ nên $7n+10$ và $5n+7$ là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

Bài 3: Tìm $x$

a) $x \vdots 4; x \vdots 7; x \vdots 8$ và $x$ nhỏ nhất khác 0

(Lưu ý: Để bài toán có đáp án thực tế, $x$ là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0).

Vì $x \vdots 4$, $x \vdots 7$, $x \vdots 8$ và $x$ là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 nên $x = \text{BCNN}(4, 7, 8)$.

Ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

- $4 = 2^2$

- $7 = 7$

- $8 = 2^3$

Thừa số nguyên tố chung và riêng là $2$ và $7$.

$\Rightarrow \text{BCNN}(4, 7, 8) = 2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$.

Vậy $x = 56$.

b) $x \vdots 10; x \vdots 15$ và $x < 100$ ($x \in \mathbb{N}$)

Vì $x \vdots 10$ và $x \vdots 15$ nên $x \in \text{BC}(10, 15)$.

Ta có:

- $10 = 2 \cdot 5$

- $15 = 3 \cdot 5$

- $\Rightarrow \text{BCNN}(10, 15) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Suy ra:

$\text{BC}(10, 15) = \text{B}(30) = \{0; 30; 60; 90; 120; \dots\}$

Vì $x < 100$ và $x \in \mathbb{N}$ nên $x \in \{0; 30; 60; 90\}$.

Vậy $x \in \{0; 30; 60; 90\}$.

Bài 4: Tìm số học sinh khối 6

Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là $a$ (học sinh, $a \in \mathbb{N}^*$).

Theo đề bài, ta có: $300 < a < 400$.

Vì khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng, 18 hàng đều dư 9 học sinh nên:

- $(a - 9) \vdots 12$

- $(a - 9) \vdots 15$

- $(a - 9) \vdots 18$

Suy ra $(a - 9) \in \text{BC}(12, 15, 18)$.

Ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

- $12 = 2^2 \cdot 3$

- $15 = 3 \cdot 5$

- $18 = 2 \cdot 3^2$

$\Rightarrow \text{BCNN}(12, 15, 18) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.

Do đó:

$(a - 9) \in \text{BC}(12, 15, 18) = \text{B}(180) = \{0; 180; 360; 540; \dots\}$

$\Rightarrow a \in \{9; 189; 369; 549; \dots\}$

Vì $300 < a < 400$ nên $a = 369$.

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 369 học sinh.

Bài 5: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là $n$ ($n \in \mathbb{N}, 100 \le n \le 999$).

Theo đề bài:

- $n$ chia 6 dư 5 $\Rightarrow (n + 1) \vdots 6$

- $n$ chia 8 dư 7 $\Rightarrow (n + 1) \vdots 8$

- $n$ chia 9 dư 8 $\Rightarrow (n + 1) \vdots 9$

Suy ra $(n + 1) \in \text{BC}(6, 8, 9)$.

Ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

- $6 = 2 \cdot 3$

- $8 = 2^3$

- $9 = 3^2$

$\Rightarrow \text{BCNN}(6, 8, 9) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Do đó:

$(n + 1) \in \text{BC}(6, 8, 9) = \text{B}(72) = \{0; 72; 144; 216; 288; \dots\}$

$\Rightarrow n \in \{71; 143; 215; 287; \dots\}$

Vì $n$ là số tự nhiên có 3 chữ số nên $100 \le n \le 999$, suy ra $101 \le n + 1 \le 1000$.

Do $n + 1$ là bội của 72 trong khoảng từ 101 đến 1000, nên các giá trị của $n + 1$ thỏa mãn là:

$n + 1 \in \{144; 216; 288; 360; 432; 504; 576; 648; 720; 792; 864; 936\}$

Trừ 1 ở mỗi giá trị, ta được $n$:

$n \in \{143; 215; 287; 359; 431; 503; 575; 647; 719; 791; 863; 935\}$

Kết luận: Các số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn đề bài là: $143; 215; 287; 359; 431; 503; 575; 647; 719; 791; 863; 935$.