Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^2+2015|x-z|=2017\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x-y=a\\y-z=b\end{cases}\left(a,b\in Z\right)}\) thì ta có
\(a^3+b^2+2015|a+b|=2017\)
+ Nếu a lẻ b lẻ thì a + b là số chẵn \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.
+ Nếu a lẻ b chẵn thì a + b là số lẻ \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.
+ Nếu a chẵn b lẻ thì a + b là số lẻ \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.
+ Nếu a chẵn b chẵn thì a + b là số chẵn \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.
Vậy không tồn tại a, b nguyên thỏa đề bài hay là không tồn tại x, y, z nguyên dương thỏa đề bài.
a/ Ta có VP là số lẻ nên VT cũng phải là số lẻ. Hay trong 2 số x, y phải có 1 số lẻ.
Giả sử số lẻ đó là x thì ta có
\(\hept{\begin{cases}x=2m+1\\y=2n\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2+\left(2n\right)^2=1999\)
\(\Leftrightarrow4\left(m^2+m+n\right)=1998\)
Ta thấy VT chia hết chi 4 còn VP không chia hết cho 4 nên phương trình vô nghiệm
b/ \(9x^2+2=y^2+y\)
\(\Leftrightarrow36x^2+8=4y^2+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)^2-36x^2=9\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+1-6x\right)\left(2y+1+6x\right)=9\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$|3x+1|+|3x-5|=|3x+1|+|5-3x|\geq |3x+1+5-3x|=6$
$(y+3)^2+2\geq 2, \forall y\Rightarrow \frac{12}{(y+3)^2+2}\leq \frac{12}{2}=6$
Vậy:
$|3x+1|+|3x-5|\geq 6\geq \frac{12}{(y+3)^2+2}$
Dấu "=" xảy ra (3x+1)(5-3x)\geq 0$ và $y+3=0$
$\Leftrightarrow \frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{5}{3}$ và $y=-3$
Chỉ biết làm câu b) thôi, thông cảm nha :D
\(xy+x-y=0\\ x\left(y+1\right)-y-1=0-1\\x\left(y+1\right)-\left(y+1\right)=-1\\ \left(y+1\right)\left(x-1\right)=-1=1\cdot\left(-1\right)=\left(-1\right)\cdot1 \)
Ta xét các TH:
\(\circledast\left\{{}\begin{matrix}y+1=1\\x-1=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1-1\\x=-1+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=0\end{matrix}\right.\) (ktm)
\(\circledast\left\{{}\begin{matrix}y+1=-1\\x-1=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1-1\\x=1+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-2\\x=2\end{matrix}\right.\) (tm)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;-2\right)\)
a) Ta có: (5x - y)2018 \(\ge\) 0
|x2 - 4|2019 \(\ge\)0
=> (5x - y)2018 + |x2 - 4|2019 \(\ge\) 0
Mà: (5x - y)2018 + |x2 - 4|2019 \(\le\)0
=> (5x - y)2018 + |x2 - 4|2019 = 0
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(5x-y\right)^2=0\\\left|x^2-4\right|^{2019}=0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}5x-y=0\\\left|\left(x-2\right)\left(x+2\right)\right|=0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=5x\\\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=5x\\\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=10\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-10\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$
$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$
Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:
$k^2+2n=a(a-1)$.
Ta có $n(n+1)=k$ nên:
$k^2+2n=3^m(3^m-1)$.
Xét modulo $3^m$:
$k^2+2n\equiv0\pmod{3^m}$.
Vì $k=n(n+1)$ nên bài toán dẫn đến $m=1,n=1$.
Kiểm tra:
$9-3=6$
$1+2+1+2=6$.
Vậy $(m,n)=(1,1)$.
Đặt $N=(x+y)^2+3x+y+1$.
Theo đề $N$ là số chính phương, nên đặt $N=k^2$.
Ta có: $k^2=(x+y)^2+3x+y+1$
$k^2-(x+y)^2=3x+y+1$
$(k-x-y)(k+x+y)=3x+y+1$.
Vì $x,y>0$ nên: $k>x+y$.
Đặt $a=k-x-y>0$.
Khi đó: $a(2x+2y+a)=3x+y+1$.
Nếu $x>y$ thì: $3x+y+1<2x+2y+2x$ (với $x,y$ dương),
suy ra mâu thuẫn với $a\ge1$.
Tương tự nếu $x<y$ cũng mâu thuẫn.
Do đó: $x=y$.