\(A=\frac{5x+7}{x+3}=\frac{5x+15-8}{x+3}=\frac{5\left(x+3\right)-8}{x+3}\)

\(A=5-\frac{8}{x+3}\)

Để A là số tự nhiên => \(\frac{8}{x+3}\)là số tự nhiên 

\(\Rightarrow x+3\inƯ\left(8\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\pm8\right\}\)

bn tự lập bảng nha 

Bài 4:

a: TH1: p=2

\(5p+3=5\cdot2+3=10+3=13\) là số nguyên tố

=>Nhận

TH2: p=2k+1

\(5p+3=5\left(2k+1\right)+3\)

=10k+5+3

=10k+8

=2(5k+4)⋮2

=>Loại

Vậy: p=2

b: TH1: p=3

p+8=3+8=11; p+10=3+10=13

=>Nhận

TH2: p=3k+1

p+8=3k+1+8

=3k+9

=3(k+3)⋮3

=>Loại

TH3: p=3k+2

p+10

=3k+2+10

=3k+12

=3(k+4)⋮3

=>Loại

Vậy: p=3

c: TH1: p=5

p+2=5+2=7

p+6=5+6=11

p+18=5+18=23

p+24=5+24=29

=>Nhận

TH2: p=5k+1

p+24

=5k+1+24

=5k+25

=5(k+5)⋮5

=>Loại

TH3: p=5k+2

p+18

=5k+2+18

=5k+20

=5(k+4)⋮5

=>Loại

TH4: p=5k+3

p+2=5k+3+2

=5k+5

=5(k+1)⋮5

=>Loại

TH5: p=5k+4

p+6=5k+4+6

=5k+10

=5(k+2)⋮5

=>Loại

Bài 5: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+2 thì p+4=3k+2+4=3k+6=3(k+2)⋮3

=>Loại

=>p=3k+1

p+8=3k+1+8

=3k+9

=3(k+3)⋮3

=>p+8 là hợp số

Bài 4:

a: TH1: p=2

\(5p+3=5\cdot2+3=10+3=13\) là số nguyên tố

=>Nhận

TH2: p=2k+1

\(5p+3=5\left(2k+1\right)+3\)

=10k+5+3

=10k+8

=2(5k+4)⋮2

=>Loại

Vậy: p=2

b: TH1: p=3

p+8=3+8=11; p+10=3+10=13

=>Nhận

TH2: p=3k+1

p+8=3k+1+8

=3k+9

=3(k+3)⋮3

=>Loại

TH3: p=3k+2

p+10

=3k+2+10

=3k+12

=3(k+4)⋮3

=>Loại

Vậy: p=3

c: TH1: p=5

p+2=5+2=7

p+6=5+6=11

p+18=5+18=23

p+24=5+24=29

=>Nhận

TH2: p=5k+1

p+24

=5k+1+24

=5k+25

=5(k+5)⋮5

=>Loại

TH3: p=5k+2

p+18

=5k+2+18

=5k+20

=5(k+4)⋮5

=>Loại

TH4: p=5k+3

p+2=5k+3+2

=5k+5

=5(k+1)⋮5

=>Loại

TH5: p=5k+4

p+6=5k+4+6

=5k+10

=5(k+2)⋮5

=>Loại

Bài 5: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+2 thì p+4=3k+2+4=3k+6=3(k+2)⋮3

=>Loại

=>p=3k+1

p+8=3k+1+8

=3k+9

=3(k+3)⋮3

=>p+8 là hợp số

Bài 4

a) Tìm \(p\) nguyên tố sao cho \(5 p + 3\) cũng nguyên tố.

• Thử \(p = 2\): \(5 \cdot 2 + 3 = 13\) (nguyên tố) ✅
• Thử \(p = 3\): \(5 \cdot 3 + 3 = 18\) (hợp số) ❌
• Thử \(p = 5\): \(5 \cdot 5 + 3 = 28\) (hợp số) ❌
• Thử \(p = 7\): \(5 \cdot 7 + 3 = 38\) (hợp số) ❌
  ...
  👉 Chỉ có \(p = 2\).

b) Tìm \(p\) nguyên tố sao cho \(p + 8\) và \(p + 10\) cũng nguyên tố.

• Thử \(p = 2\): \(p + 8 = 10\) (hợp số) ❌
• Thử \(p = 3\): \(p + 8 = 11\) (nguyên tố), \(p + 10 = 13\) (nguyên tố) ✅
• Thử \(p = 5\): \(p + 8 = 13\) (nguyên tố), \(p + 10 = 15\) (hợp số) ❌
• Thử \(p = 7\): \(p + 8 = 15\) (hợp số) ❌
  ...
  👉 Chỉ có \(p = 3\).

c) Tìm \(p\) nguyên tố sao cho \(p + 2 , p + 6 , p + 18 , p + 24\) đều nguyên tố.

Thử các số nhỏ:

• \(p = 2\): \(p + 2 = 4\) (hợp số) ❌
• \(p = 3\): \(5 , 9 , 21 , 27\) → có hợp số ❌
• \(p = 5\): \(7 , 11 , 23 , 29\) → tất cả nguyên tố ✅
• Thử \(p = 7\): \(9\) hợp số ❌
• \(p = 11\): \(13 , 17 , 29 , 35\) → 35 hợp số ❌
  ...

👉 Chỉ có \(p = 5\).

Kết quả Bài 4:
a) \(p = 2\)
b) \(p = 3\)
c) \(p = 5\)

Bài 5

Cho \(p\) nguyên tố > 3 và \(p + 4\) cũng nguyên tố. Chứng minh \(p + 8\) hợp số.

• Vì \(p > 3\) và nguyên tố, nên \(p \equiv 1 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 5 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\).
• Nếu \(p \equiv 1 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\), thì \(p + 4 \equiv 5 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\) (có thể là số nguyên tố). Khi đó:
  \(p + 8 \equiv 3 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\)
  nên \(p + 8\) chia hết cho 3. Mà \(p + 8 > 3\), vậy \(p + 8\) hợp số.
• Nếu \(p \equiv 5 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\), thì \(p + 4 \equiv 3 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\). Khi đó \(p + 4\) sẽ chia hết cho 3, chỉ có thể bằng 3. Nhưng \(p + 4 > 3\) (do \(p > 3\)), nên mâu thuẫn.

👉 Vậy chỉ có trường hợp \(p \equiv 1 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\) xảy ra, và khi đó \(p + 8\) luôn chia hết cho 3, tức là hợp số.

✅ Kết quả Bài 5: Chứng minh được \(p + 8\) hợp số.

Giả sử f(n) là số chính phương với mọi n nguyên dương

Đặt \(f\left(n\right)=n^3+On^2+Ln+M\)

Suy ra \(f\left(1\right)=1+O+L+M\);\(f\left(2\right)=8+4O+2L+M\);\(f\left(3\right)=27+9O+3L+M\);\(f\left(4\right)=64+16O+4L+O\) đều là số chính phương.

Mà \(f\left(4\right)-f\left(2\right)\equiv2L\left(mod4\right)\) và\(f\left(4\right)-f\left(2\right)\equiv0,1,-1\left(mod4\right)\)(do \(f\left(4\right),f\left(2\right)\)đều là số chính phương)

Do đó= \(2L\equiv0\left(mod4\right)\)

Suy ra \(2L+2\equiv2\left(mod4\right)\)

Mặt khác \(f\left(3\right)-f\left(1\right)\equiv2L+2\left(mod4\right)\)

=>Mâu thuẫn với điều giả sử (do \(f\left(3\right)-f\left(1\right)\equiv0,1,-1\left(mod4\right)\))

=>Đpcm

Vậy luôn tồn tại n nguyên dương sao cho \(f\left(n\right)=n^3+On^2+Ln+M\)không phải là số chính phương.

Làm đồng dư được ko ?

Các bạn trả lời hộ mình đi , mình cần gấp lắm

QUÊN TOÁN 8

1, TH1: x = 1 => n⁴ + 4 = 5 là số nguyên tố

TH2: x >= 2 => n⁴ \(\equiv\)1 (mod 5)

=> n⁴ + 4 \(⋮\)5 (ko là số nguyên tố)