Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Ta có: \(x^2-2x-1=\left(\sqrt{2}+1\right)^2-2\left(\sqrt{2}+1\right)-1=0\)
\(\Rightarrow P=\left(x^4-4x^3+4x^2-2\right)^5+\left(x^3-3x^2-x-1\right)^6\)
\(=\left[\left(x^4-2x^3-x^2\right)+\left(-2x^3+4x^2+2x\right)+\left(x^2-2x-1\right)-1\right]^5+\left[\left(x^3-2x^2-x\right)+\left(-x^2+2x+1\right)-2x-2\right]^6\)
\(=\left(-1\right)^5+\left(-2x-2\right)^6\)
Xong
5) Lợi dụng AM-GM :v
\(a^4+a^4+a^4+b^4\ge4a^3b\)
\(b^4+b^4+b^4+a^4\ge4b^3a\)
\(\Rightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+a^4+ab^3+a^3b=\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a+b}{2ab}+\dfrac{b+c}{2bc}+\dfrac{c+a}{2ac}=\dfrac{\left(a+b\right)c}{2abc}+\dfrac{\left(b+c\right)a}{2abc}+\dfrac{\left(c+a\right)b}{2abc}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{2abc}=1\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=3\)
1.
Nhân 2 vế của BĐT với \(\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0\) *đúng*
Bài 1:
a: \(\Leftrightarrow\left|x+\dfrac{4}{15}\right|=-2.15+3.75=\dfrac{8}{5}\)
=>x+4/15=8/5 hoặc x+4/15=-8/5
=>x=4/3 hoặc x=-28/15
b: \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{5}{3}x=-\dfrac{1}{6}\\\dfrac{5}{3}x=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1}{6}:\dfrac{5}{3}=\dfrac{-3}{30}=\dfrac{-1}{10}\\x=\dfrac{1}{10}\end{matrix}\right.\)
c: \(\Leftrightarrow\left|x-1\right|-1=1\)
=>|x-1|=2
=>x-1=2 hoặc x-1=-2
=>x=3 hoặc x=-1
Bài 2:
b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y+\dfrac{9}{25}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{9}{25}\)
Bài 3:
a: \(A=\left|x+\dfrac{15}{19}\right|-1>=-1\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-15/19
b: \(\left|x-\dfrac{4}{7}\right|+\dfrac{1}{2}>=\dfrac{1}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi x=4/7
a) \(\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)}{x^2-1}=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{12x+12-8x+8}{x^2-1}=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{4x+20}{x^2-1}=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-1=4x+20\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-4x-21=0\)
giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=7;x_2=-3\)
vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=7;x=-3\)
b) \(\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(1-x\right)}=3\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{16-16x+30x-90}{x-x^2-3+3x}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{14x-74}{-x^2+4x-3}=3\)
\(\Leftrightarrow\) \(3\left(-x^2+4x-3\right)=14x-74\)
\(\Leftrightarrow\) \(-3x^2+12x-9=14x-74\)
\(\Leftrightarrow\) \(3x^2-2x-65=0\)
giải pt ta có 2 nghiệm : \(x_1=5;x_2=\dfrac{-13}{3}\)
vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=5;x=\dfrac{-13}{3}\)
Xí câu BĐT:
ta cần chứng minh \(\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT cauchy:
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
tương tự ta có:\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế ta có:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
mà a2+b2+c2\(\ge ab+bc+ca\) ( chứng minh đầy đủ nhá)
do đó \(S=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-ab+bc+ca=ab+bc+ca\)
suy ra BĐT ban đầu đúng
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
P/s: cách khác :Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
\(S\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Câu hệ này =))
b, Từ hệ đã cho ta thấy x,y > 0
Trừ vế cho vế pt (1) và (2) của hệ ta được:
\(x^4-y^4=4y-4x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=4\left(y-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\) ( Vì \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4>0\) với x,y > 0)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Với x = y thay vào pt đầu của hệ ta được:
\(x^4-4x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\) ( Vì \(x^2+2x+3>0\) )
\(\Leftrightarrow x=1\)
Với x=1 suy ra y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)
Bài 1: Sửa \(a+b+c\le\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(VT=\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(3+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
\(\ge\left(3+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge\left(3+2+2\right)^3=343\)
Khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Bài 1: Một cách thuần túy Am-Gm
Biến đổi:
\(P=\frac{(3ab+a+b)(3bc+b+c)(3ac+a+c)}{(abc)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(3ab+a+b=ab+ab+ab+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+b}{4}\geq 7\sqrt[7]{\frac{(ab)^3(a+b)^4}{4^4}}\)
Tương tự với các biểu thức còn lại và nhân theo vế:
\(P\geq \frac{343\sqrt[7]{\frac{(abc)^6(a+b)^4(b+c)^4(c+a)^4}{4^{12}}}}{(abc)^2}\)
Mặt khác: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\) (AM-GM)
\(\Rightarrow P\geq \frac{343\sqrt[7]{\frac{(abc)^{10}}{4096}}}{(abc)^2}=343\sqrt[7]{\frac{1}{4096(abc)^4}}\)
AM-GM: \(\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}\)
Do đó mà \(P\geq 343\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Bài 2:
\(\bullet\) Nếu \(x<0\):
Hiển nhiên \(x=-1\) vì nếu \(x<-1\) thì \(2x+1-y^2-y=x^x\not\in \mathbb{Z}\)
PT tương đương: \(y^2+y=0\Rightarrow y\in \left\{0;-1\right\}\)
\(\bullet\) Nếu \(x\geq 0\):
Ta có: \(x^x+y^2+y=2x+1\Leftrightarrow 4x^x+(2y+1)^2=8x+5\)
Thấy rằng với mọi $y$ nguyên thì \(2y+1\neq 0\Rightarrow (2y+1)^2\geq 1\)
\(\Rightarrow 8x+5\geq 4x^x+1\Leftrightarrow 2x+1\geq x^x\) \((\star)\)
Giờ xét các TH sau:
+ \(x=0\Rightarrow \) \(x^x\) vô nghĩa (loại)
+ \(x=1\) \(\Rightarrow y^2+y-2=0\Rightarrow y\in\left\{1;-2\right\}\)
+ \(x=2\Rightarrow y^2+y-1=0\Rightarrow y\not\in \mathbb{Z}\)
+ \(x\geq 3\) , ta sẽ chỉ ra \(2x+1< x^x\) bằng quy nạp.
Thật vậy, thấy \(x=3,4,5\) khẳng định trên đúng
Giả sử nó cũng đúng với \(x=k\Leftrightarrow 2k+1< k^k\) (\(k>3\))
Ta chỉ cần chỉ ra \(2k+3<(k+1)^{k+1}\)
Điều này hiển nhiên đúng vì:
\((k+1)^{k+1}>k^{k+1}+1>k(2k+1)+1=2k^2+k+1>2k+3\) do \(k>3\)
Vậy có nghĩa là với \(x>3\) ta luôn có \(2x+1< x^x\) (trái với điều đã khẳng định ở \((\star)\)
Vậy bộ nghiệm của PT là \((-1,0),(-1,-1),(1,1),(1,-2)\)
Bài 3:
a)
Dựa vào điều kiện đề bài, ta tìm được \(f(x)\) có dạng:
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-t)+10x\) với $t$ là một số bất kỳ
Khi đó
\(f(12)=990(12-t)+120\)
\(f(-8)=-990(-8-t)-80\)
\(\Rightarrow \frac{f(12)+f(-8)}{10}+25=2009\)
b) Theo bài ra ta có:
\(\overline{abc}=9(a^2+b^2+c^2)\)
Vì \(abc\leq 999\Rightarrow 111\geq a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\) (Am-Gm)
\(\Leftrightarrow a+b+c\leq 18\) Mà hiển nhiên \(a+b+c\vdots 9\Rightarrow a+b+c\in\left\{9;18\right\}\)
TH1: \(a+b+c=9\Rightarrow \) PT đầu tương đương:
\(11a+b+1=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow 10a+10-c=81-2(ab+bc+ac)\) \(\rightarrow c\) lẻ
Nếu \(c\geq 7\Rightarrow 11a+b+1\geq a^2+b^2+49\)
\(\Leftrightarrow (a-\frac{11}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+17,5\leq 0\) (vô ly)
Do đó \(c<7\Rightarrow c=1,3,5\)
Xét \(c=1\rightarrow 11a+b=a^2+b^2\Leftrightarrow 10a+a+b=(a+b)^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow 10a+2ab=8^2-8=56\rightarrow a(5+b)=28\)
\(\leftrightarrow (b+5)(8-b)=28\) (pt vô nghiệm nguyên nên loại)
Tương tự:
Xét \(c=3\rightarrow a+b=6\rightarrow a(5+b)=19\) \(\Leftrightarrow (6-b)(b+5)=19\)
Xét \(c=5\rightarrow a+b=4\rightarrow a(5+b)=18\Leftrightarrow (6-b)(b+5)=18\)
Ta thu được 1 nghiệm thỏa mãn là \(b=1\rightarrow a=3\rightarrow \overline{abc}=315\)
TH2: \(a+b+c=18\). PT đầu tương đương:
\(11a+b+2=a^2+b^2+c^2\)
Tương tự như TH1 , ta chứng minh được \(c\) chẵn. Nếu
\(c\geq 6\rightarrow 11a+b+2\geq a^2+b^2+36\)
\(\Leftrightarrow (a-\frac{11}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+3,5\leq 0\) (vô lý) nên \(c=0,2,4\)
\(c=0\rightarrow a+b=18\rightarrow a=b=9\) (thử lại thấy mâu thuẫn)
\(c=2,4\) hoàn toàn xét tương tự TH1 ta không thu được số nào thỏa mãn.
Vậy số cần tìm là 315
bài 2: \(x=y=-1|;x=-1;y=0|;x=1;y=-2|;x=y=1\)- khao học đã chứng minh
An Nguyễn Thiện: ngược lại nhé
holder là bđt hệ quả của bunhi ak
làm như thế này mà đc ak
@Akai Haruma
bạn giải câu a kĩ hơn cho mk đc ko?
thoi giup mk bai khac di
chứng minh holder hộ mk với