Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4. Ta có: \(a+b+c=6abc\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=6\)
Lại có: \(\frac{bc}{a^3\left(c+2b\right)}=\frac{1}{a^3\frac{c+2b}{bc}}=\frac{\frac{1}{a^3}}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{x^3}{y+2z}\)
Tương tự suy ra:
\(S=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge\frac{xy+yz+zx}{3}=2\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
Bài 1 : \(A=2^{2001}+2^{2002}+2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}+2^{2006}\)
\(=2^{2001}\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\)
Ta có :
\(2^1\equiv2mod\left(10\right)\)
\(2^{10}\equiv4mod\left(10\right)\)
\(2^{100}\equiv4^{10}\equiv6mod\left(10\right)\)
\(2^{1000}\equiv6^{10}\equiv6mod\left(10\right)\)
\(2^{2000}\equiv6^2\equiv6mod\left(10\right)\)
\(\Rightarrow2^{2001}\equiv6.2\equiv2mod\left(10\right)\)
Mà : \(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\equiv3mod\left(10\right)\)
Vậy chữ số tận cùng của A là \(2\times3=6\)
Bài 2 : Đặt \(A=\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)\left(x-8\right)+2002\)
\(=\left(x-1\right)\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)+2002\)
\(=\left(x^2-9x+8\right)\left(x^2-9x+20\right)+2002\)
\(=\left(x^2-9x+14-6\right)\left(x^2-9x+14+6\right)+2002\)
\(=\left(x^2-9x+14\right)^2+1966\)
Vì \(\left(x^2-9x+14\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-9x+14\right)^2+1966\ge1966\)
Vậy GTNN của A là 1966 .
Dấu bằng xảy ra khi \(x^2-9x+14=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=7\end{matrix}\right.\)
Bài 3 : Ta có :
\(VT=\left(a+b\right)^2+\dfrac{\left(a+b\right)}{2}\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+\dfrac{1}{4}+b+\dfrac{1}{4}\right)\ge2\sqrt{ab}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\)
Bài 4 : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( Đúng )
Theo BĐT trong tam giác ta luôn có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\\ba+ca>a^2\\cb+ab>b^2\end{matrix}\right.\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
Vậy \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) ( đpcm )
bạn còn cách giải nào khác ko chỉ cho mik vs
cách này là toán máy tính cầm tay mà