Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho tam giác ABC cân tại A, \(AB=AC=34\) cm, \(BC=32\) cm. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G.
a) Chứng minh AM vuông góc BCVì tam giác ABC cân tại A nên:
\(AB=AC\).
Mà AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm BC.
Suy ra \(MB=MC\).
Xét tam giác ABM và ACM, ta có:
- \(AB=AC\)
- \(MB=MC\)
- AM chung.
Suy ra \(\triangle ABM=\triangle ACM\) (c.c.c).
Do đó \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\).
Mà hai góc này kề bù nên:
\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^\circ\).
Vậy \(AM\perp BC\) (đpcm).
b) Tính AM, BN, CPVì M là trung điểm BC nên:
\(BM=CM=\dfrac{32}{2}=16\) (cm).
Xét tam giác ABM vuông tại M, áp dụng định lý Pythagore:
\(AM^2=AB^2-BM^2\)
\(AM^2=34^2-16^2=1156-256=900\).
Suy ra \(AM=30\) cm.
Vì G là trọng tâm nên:
\(BG=\dfrac{2}{3}BN\), \(CG=\dfrac{2}{3}CP\).
Ta tính BN bằng định lý Apollonius:
\(BN^2=\dfrac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}\)
\(=\dfrac{2\cdot34^2+2\cdot32^2-34^2}{4}\)
\(=\dfrac{1156+2048}{4}=801\).
Suy ra \(BN=\sqrt{801}\approx28,30\) cm.
Tương tự, do AB = AC nên:
\(CP=BN\approx28,30\) cm.
Vậy:
- \(AM=30\) cm.
- \(BN\approx28,30\) cm.
- \(CP\approx28,30\) cm.
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Chứng minh:
\(BC^2+CA^2=5AB^2\).
Bài giải
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
\(AG=2GM\), \(BG=2GN\).
Mặt khác, AM vuông góc BN tại G nên:
\(\widehat{AGB}=\widehat{AGM}=\widehat{BGM}=90^\circ\).
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AGB:
\(AB^2=AG^2+BG^2\) (1)
Trong tam giác BGC:
\(BC^2=BG^2+GC^2\) (2)
Trong tam giác AGC:
\(AC^2=AG^2+GC^2\) (3)
Vì M là trung điểm BC và G nằm trên AM, ta có:
\(GM=\dfrac{AG}{2}\).
Vì N là trung điểm AC và G nằm trên BN, ta có:
\(GN=\dfrac{BG}{2}\).
Do đó, từ các tam giác vuông, ta có thể suy ra \(GC^2=AG^2+BG^2\).
Thay vào (2) và (3):
\(BC^2=BG^2+AG^2+BG^2\)
\(=AG^2+2BG^2\).
\(AC^2=AG^2+AG^2+BG^2\)
\(=2AG^2+BG^2\).
Cộng hai đẳng thức:
\(BC^2+AC^2=3AG^2+3BG^2\)
\(=3AB^2\).
Vậy đề bài có thể bị sai hệ số: theo giả thiết hai trung tuyến vuông góc, ta chứng minh được \(BC^2+CA^2=3AB^2\), không phải \(5AB^2\).
Cho tam giác HPG có 3 trung tuyến HM,PA,GB cắt nhau tại T . Biết TH = 3 cm,TP=TG=4 cm a, Tính HM,PA,GB. b, Chứng minh tam giác HPG cân
Vì AM, BN, CP là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và G là giao điểm của BN và CP nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có tính chất trọng tâm:
\(\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{BG}{BN}=\dfrac{CG}{CP}=\dfrac{2}{3}\).
a) Tính độ dài các đường trung tuyếnTa có:
\(AG=\dfrac{2}{3}AM\)
Suy ra:
\(AM=\dfrac{3}{2}\cdot AG=\dfrac{3}{2}\cdot4=6\) (cm).
Tương tự:
\(BG=\dfrac{2}{3}BN\)
Suy ra:
\(BN=\dfrac{3}{2}\cdot BG=\dfrac{3}{2}\cdot6=9\) (cm).
\(CG=\dfrac{2}{3}CP\)
Suy ra:
\(CP=\dfrac{3}{2}\cdot CG=\dfrac{3}{2}\cdot6=9\) (cm).
Vậy \(AM=6\) cm; \(BN=CP=9\) cm.
b) Chứng minh tam giác ABC cânVì \(BN=CP\) nên:
\(\dfrac{2}{3}BN=\dfrac{2}{3}CP\)
Hay \(BG=CG\).
Mà G nằm trên BN và CP nên G là trung điểm của BC?
Lưu ý: Từ \(BG=CG\) và G nằm trên BC, ta cần biết G thuộc BC. Nhưng G là giao điểm hai đường trung tuyến BN và CP, không nằm trên BC nói chung. Vì vậy không thể kết luận như trên.
Ta có thể chứng minh bằng định lý Apollonius:
Vì N là trung điểm AC, P là trung điểm AB:
\(BN^2=\dfrac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}\)
\(CP^2=\dfrac{2AC^2+2BC^2-AB^2}{4}\)
Mà \(BN=CP\), suy ra:
\(2AB^2+2BC^2-AC^2=2AC^2+2BC^2-AB^2\)
\(3AB^2=3AC^2\)
Suy ra \(AB=AC\).
Vậy tam giác ABC cân tại A. (đpcm)
mk pit làm phần a thui
vì AG=2GM
+) AG=4 cm
=>4=2GM
=> MG=4:2=2 (cm)
+)gm+ag=am
+)mg=2 cm
+) ag=9cm
=>2+9=am
=> am=11 cm
tính độ dài đoạn cp và bn tương tự như trên
câu 2 :
a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không
xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :
AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)
MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)
AM là cạnh chung
=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)
=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)
=> AM ⊥ BC