A B C D N P M

Vì\(\hept{\begin{cases}AB\perp BC\left(\widehat{B}=90^0\right)\\MN\perp BC\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow AB//MN}\)( từ vuông góc đến song song )

Xét tam giác ABC có: \(AB//MN\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{MN}{AB}=\frac{MC}{AC}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

Vì \(\hept{\begin{cases}AD\perp DC\left(\widehat{D}=90^0\right)\\MP\perp AD\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}MP//DC\)( từ vuông góc đến song song )

Xét tam giác ADC có \(MP//DC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{MP}{CD}=\frac{AM}{AC}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{MN}{AB}+\frac{MP}{CD}=\frac{MC}{AC}+\frac{AM}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\left(đpcm\right)\)

đổi k ko các bạn?

à nhầm ngay cái chỗ từ 1 ở câu a và 2 

bạn sửa lại dùm mình thành từ 1 và 2 nha mình viết nhầm 

Dễ thấy AEMF là hình chữ nhật => AE = FM 
Dễ thấy tg DFM vuông cân tại F => FM = DF 
=> AE = DF => tg vuông ADE = tg vuông DCF ( AE = DF; AD = DC) => DE = CF 
tg vuông ADE = tg vuông DCF => ^ADE = ^DCF => DE vuông góc CF (1) ( vì đã có AD vuông góc DC) 
 Tương tự dễ thấy AF = BE => tg vuông ABF = tg vuông BCE => ^ABF = ^BCE => BF vuông góc CE ( vì đã có AB vuông góc BC) (2) 
Gọi H là giao điểm của BF và DE 
Từ (1) ở câu a) và (2) => H là trực tâm của tg CEF 
Mặt khác gọi N là giao điểm của BC và MF. dễ thấy CN = DF = AE: MN = EM = A F => tg vuông AEF = tg vuông CMN => ^AEF = ^MCN => CM vuông góc EF ( vì đã có CN vuông góc AE) => CM là đường cao thuộc đỉnh C của tg CE F => CM phải đi qua trực tâm H => 3 đường thẳng DE;BF,CM đồng quy tại H 

Ta có:MN=EN=DF=FN\(=\dfrac{AM}{2}\)

=>\(\widehat{END}=\widehat{ENM}+\widehat{MND}\)

=\(2\widehat{EAM}=2\widehat{DAE}=60^o\)

lại có :\(\widehat{DNF}=\widehat{MNF}-\widehat{MND}\)

=> \(2\widehat{MAC}-2\widehat{MAD}=2\widehat{DAC}=60^o\)

Có tam giác NED ,NDF là tam giác đều

Từ đó suy ra : EN=FN=DF=DF

Vậy DENF là hình thoi (đpcm).

a) Ta có: ABCD là hình vuông

nên DB là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=45^0\)

hay \(\widehat{FDM}=45^0\)

Xét ΔMFD vuông tại F có \(\widehat{FDM}=45^0\)(cmt)

nên ΔMFD vuông cân tại F

Suy ra: FM=FD(1)

Xét tứ giác AEMF có 

\(\widehat{EAF}=90^0\)

\(\widehat{AFM}=90^0\)

\(\widehat{AEM}=90^0\)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật

Suy ra: AE=MF(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE=DF

Xét ΔAED vuông tại A và ΔDFC vuông tại F có 

AE=DF

AD=DC

Do đó: ΔAED=ΔDFC

Suy ra: DE=CF

a, là hình chữ nhật nên 

Δvuông cân tại suy ra 

suy ra 

b, Tương tự câu a, dễ thấy 

 nên vuông góc 

Gọi là giao điểm của và 

là trực tâm của tam giác 

Gọi là giao điểm của và 

và