ta có:

t₁=\(\frac{S_1}{v_1}=\frac{S}{2v_1}\)

\(t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{S}{2v_2}\)

vận tốc trung bình của nhười đó là:

\(v_{tb}=\frac{S}{t_1+t_2}=\frac{S}{\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{2v_2}}=\frac{1}{\frac{1}{2v_1}+\frac{1}{2v_2}}=\frac{1}{\frac{v_2+v_1}{2v_1v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_2+v_1}\)

lấy v_tb-trung bình cộng 2 v ta có:

\(\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}-\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{4v_1v_2-v_1^2-2v_1v_2-v_2^2}{2\left(v_1+v_2\right)}=\frac{-\left(v_1^2-2v_1v_2+v_2^2\right)}{2\left(v_1+v_2\right)}\)

\(=\frac{-\left(v_1-v_2\right)^2}{2\left(v_1+v_2\right)}\)

mà (v₁-v₂)²>0 nên

-(v₁-v₂)²<0 và 2*(v₂+v₁)>0 nên ta suy ra

vận tốc trung bình này ko bao giờ lớn hơn trung bình cộng của hai vận tốc v₁ và v₂

ta có:

t₁=S1v1=S2v1S1v1=S2v1

t2=S2v2=S2v2t2=S2v2=S2v2

vận tốc trung bình của nhười đó là:

vtb=St1+t2=SS2v1+S2v2=112v1+12v2=1v2+v12v1v2=2v1v2v2+v1vtb=St1+t2=SS2v1+S2v2=112v1+12v2=1v2+v12v1v2=2v1v2v2+v1

lấy v_tb-trung bình cộng 2 v ta có:

2v1v2v1+v2−v1+v22=4v1v2−v21−2v1v2−v222(v1+v2)=−(v21−2v1v2+v22)2(v1+v2)2v1v2v1+v2−v1+v22=4v1v2−v12−2v1v2−v222(v1+v2)=−(v12−2v1v2+v22)2(v1+v2)

=−(v1−v2)22(v1+v2)=−(v1−v2)22(v1+v2)

mà (v₁-v₂)²>0 nên

-(v₁-v₂)²<0 và 2*(v₂+v₁)>0 nên ta suy ra

vận tốc trung bình này ko bao giờ lớn hơn trung bình cộng của hai vận tốc v₁ và v₂

Gọi s là độ dài nửa quãng đường. Ta có thời gian đi nửa quãng đường đầu là:

\(t_1=\dfrac{s}{v_1}\)

Gọi thời gian ô tô đi nửa phần còn lại là \(t_2\) và  và \(t_2=t_3\)

Thời gian ô tô đi được trong mỗi đoạn này là:

\(s_2=v_2t_2\)

\(s_3=v_3t_3\)

Mà: \(t_2=t_3=\dfrac{s}{v_2+v_3}\)

Vận tốc \(v_3\) là:

\(v_{tb}=\dfrac{2v_1\left(v_2+v_3\right)}{v_2+v_3+2v_1}\) hay \(40=\dfrac{2\cdot30\cdot\left(45+v_3\right)}{45+v_3+2\cdot30}\)

\(\Leftrightarrow40=\dfrac{60\left(45+v_3\right)}{105+v_3}\)

\(\Leftrightarrow40\left(105+v_3\right)=60\left(45+v_3\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(105+v_3\right)=3\left(45+v_3\right)\)

\(\Leftrightarrow210+2v_3=135+3v_3\)

\(\Leftrightarrow3v_3-2v_3=210-135\)

\(\Leftrightarrow v_3=75\left(km/h\right)\)

a. \(15\left(\dfrac{m}{s}\right)=54\left(\dfrac{km}{h}\right)\)

\(v_{tb}=\dfrac{s}{\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{v'}+\dfrac{\dfrac{1}{2}s}{v''}}=\dfrac{s}{\dfrac{s}{36}+\dfrac{s}{108}}=\dfrac{s}{\dfrac{4s}{108}}=\dfrac{108}{4}=27\left(\dfrac{km}{h}\right)\)

a) Thời gian vật đi hết quãng đường trên:

\(t_{tổng}=t_1+t_2=\dfrac{S_1}{v_1}+\dfrac{S_2}{v_2}=\dfrac{520:2}{5}+\dfrac{520:2}{7}=\dfrac{624}{7}\left(s\right)\)

b) Thời gian vật đi quãng đường T1 và quãng đường T2:

\(\left\{{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{S_1}{v_1}=\dfrac{520:2}{5}=52\left(s\right)\\t_2=\dfrac{S_2}{v_2}=\dfrac{520:2}{7}=\dfrac{260}{7}\left(\dfrac{m}{s}\right)\end{matrix}\right.\)

Vận tốc trung bình trên cả quãng đường:

\(v_{tb}=\dfrac{S_1+S_2}{t_1+t_2}=\dfrac{520}{52+\dfrac{260}{7}}=\dfrac{35}{6}\left(\dfrac{m}{s}\right)\)

Đổi: \(v_1=18\)km/h=5m/s

Thời gian đi trên nửa đoạn đường đầu là:

\(t_1=\dfrac{S_1}{v_1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}S}{5}=\dfrac{S}{10}h\)

Thời gian đi trên nửa đoạn đường sau là:

\(t_2=\dfrac{S_2}{v_2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}S}{15}=\dfrac{S}{30}h\)

Vận tốc trung bình trên cả đường đi:

\(v_{tb}=\dfrac{S_1+S_2}{t_1+t_2}=\dfrac{S}{\dfrac{S}{10}+\dfrac{S}{30}}=\dfrac{S}{\dfrac{2S}{15}}=7,5\)m/s

Ta nhận thấy: \(5< 7,5< 15\)

\(\Rightarrow v_1< v_{tb}< v_2\)

Vậy vận tốc trung bình không lớn hơn vận tốc \(v_1;v_2\)

Dựa vào sơ đồ trên, ta có:

AC + BC = AB

⇔ v₁.\(\dfrac{t}{2}\) + v₂.\(\dfrac{t}{2}\) = s

v_tb = \(\dfrac{s}{t}\) = \(\dfrac{v_1.\dfrac{t}{2}+v_2.\dfrac{t}{2}}{\dfrac{t}{2}+\dfrac{t}{2}}\) = \(\dfrac{\left(v_1+v_2\right).\dfrac{t}{2}}{2.\dfrac{t}{2}}\) = \(\dfrac{v_1+v_2}{2}\)(km/h).

Thời gian chuyển động nửa quãng đường đầu :

\(t_1=\dfrac{s_1}{v_1}=\dfrac{s}{2v_1}\)

Thời gian chuyển động nửa quãng đường còn lại :

\(t_2=\dfrac{s_2}{v_2}=\dfrac{s}{2v_2}\)

Vận tốc trung bình là :

\(v_{tb}=\dfrac{s}{t_1+t_2}=\dfrac{s}{\dfrac{s}{2v_1}+\dfrac{s}{2v_2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2v_1}+\dfrac{1}{2v_2}}=\dfrac{1}{\dfrac{v_1+v_2}{2v_1v_2}}=\dfrac{2v_1v_2}{2\left(v_1+v_2\right)}\)