a, Xét ΔABH và ΔAHD có

       Góc A chung

        Góc ADH=Góc AHB=90° 

=> ΔABH ~ΔAHD(g.g)

=> AH/AB=AD/AH

=> AB.AD=AH²(1)

Xét ΔAEH và ΔAHC có:

Góc A chung 

Góc AEH = góc AHC

=>ΔAEH~ΔAHC(g.g)

=> AE/AH=AH/AC

=>AE.AC=AH²(2)

Từ (1);(2) => AD.AB=AE.AC(đpcm)

b, vì ΔABC vuông tại A có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền=> BI=IC=AI

=> ΔAIC cân tại I

=>góc IAC =góc ICA

Ta cũng có ΔBIA cân tại I =>góc IBA=góc BAI

Mà góc BAI =góc AED(cùng phụ)

         => góc IBA=góc AED

Mà ABI+góc ACI= 90°

=>    gócAED + góc IAC=90° 

      => DEvuông góc vs AI

c, 

mình làm câu c,d nek bạn

c, ta có\(\Delta\)HEC vuông tại E( vì E là hình chiếu của H nên Góc E=90 độ)

        => EN là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền

        => EN=NH=NC( vì N là trung điểm của HC)

         => \(\Delta\)ENC cân tại N(NE=NC cmt)

        => góc NEC=góc NCE(hai góc đáy) (1)

     chứng minh tương tự trong \(\Delta\)BMD cân tại M

       => góc DBM=góc MDB(2)

ta có \(\Delta\)ABC vuông tại A nên góc DBM+góc NCE=90 độ

                                            =>góc MDB+ góc NEC(vì (1);(2))    (3)

      và \(\Delta\)\(\Delta\)
DAE vuông tại A nên góc ADE+góc AED=90 độ (4)

từ (3);(4)=>góc BDM+góc ADE=90 độ

              => góc MDH+góc HDE=90 độ ( 180 độ - (MDH+HDE))

              => DM\(\perp\) DE (*)

     và    góc DEA+ góc NEC=90 độ

            => góc HDE+góc HEN= 90 độ 

           => DE\(\perp\) EN (**)

từ (*); (**)=> MDEN là hình thang (DM // EN vì cùng \(\perp\)vs DE)

d, Ta có DHEA là hình chữ nhật (góc D= góc H =Góc E=90 độ)

=> OH=OA=OD=OE (t/c đường chéo hcn)

=> OH=OA=HA/2

ta có HM+HN=BM+NC(vì BM=MH; NH=NC)

    =>  MH+HN=BC/2=>MN=1/2 BC

 diện tích \(\Delta\)ABC =1/2. AH. BC

 diện tích \(\Delta\)MON=1/2.OH.MN=1/2.1/2AH.1/2BC

Vậy (S\(\Delta\) MON)/(S\(\Delta\)ABC)=(1/2.AH.BC)/(1/8 AH.BC)

                                         =4

Mình nghĩ là làm như vậy, có gì bạn góp ý nha

anh đây đẹp troai, chim dài mét hai !

a) Tứ giác AEHD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Vì vậy DE = AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 
AH^2=BH.HC=4.9=36\Rightarrow AH=6\left(cm\right)AH2=BH.HC=4.9=36⇒AH=6(cm).
Vậy DE = AH = 6(cm).
b) Gọi O là giao điểm của AH và DE. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra OD = OH.
Xét tam giác DMO và tam giác HMO có:
MO chung
OD = OH
\widehat{ODM}=\widehat{OHM}=90^oODM=OHM=90o
Suy ra $\Delta DMO=\Delta HMO$ (ch - cgv).
Vì vậy $DM=MH$. (1) 
Từ đó suy ra tam giác MDH cân tại M hay \widehat{MDH}=\widehat{DHM}MDH=DHM.
Có \widehat{BDM}+\widehat{MDH}=90^o,\widehat{DBH}+\widehat{DHB}=90^oBDM+MDH=90o,DBH+DHB=90o.
Suy ra \widehat{MDB}=\widehat{DBM}...

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36=6^2\)

=>AH=6(cm)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

c: Gọi O là giao điểm của AH và DE

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

TA có: ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE
mà \(OA=OH=\frac{AH}{2};OD=OE=\frac{DE}{2}\)

nên OA=OH=OD=OE

ΔHDB vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên ID=IH=IB=HB/2

ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên KE=KH=KC

Xét ΔOHI và ΔODI có

OH=OD

HI=DI

OI chung

Do đó:ΔOHI=ΔODI

=>\(\hat{ODI}=\hat{OHI}=90^0\)

=>DI⊥ DE tại D

Xét ΔKEO và ΔKHO có

KE=KH

OE=OH

KO chung

Do đó: ΔKEO=ΔKHO

=>\(\hat{KEO}=\hat{KHO}=90^0\)

=>DE⊥ EK tại E

mà DI⊥ DE tại D

nên DI//EK

=>DEKI là hình thang

Hình thang DEKI có DI⊥ DE

nên DEKI là hình thang vuông

=>\(S_{DEKI}=\frac12\left(DI+EK\right)\cdot DE\)

\(=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12\cdot HB+\frac12\cdot HC\right)=\frac14\cdot AH\cdot BC=\frac14\cdot6\cdot13=\frac{78}{4}=19,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a) 
xét tam giác ABC vuông tại A: 
=> tan C= AH/HC=12/15=0.8 (tỉ số lượng giác) 
=>C=40 độ 
ta có: góc B= 90 độ - góc C (vì C+B=90 vì A=90 ) 
góc B=90 độ - 40 độ 
góc B=50 độ. 
xét tam giác ABC vuông tại A có: 
Cos B = AH/BH (tỉ số lượng giác) 
=> BH=AH/ cos B = 12/cos 50 độ=18.67 cm 
b) xét tam giác ABC vuông tại A có: 
AB^2 = BH*BC (hệ thức lượng) 
AB^2=18.67*25 
AB^2=466.7 
=>AB=21.6 
ta lại có: 
AH*BC=AB*AC (hệ thức lượng) 
12 * 25= 21.6*AC 
=>AC=(12*25)/21.6=13.89 cm 

a) Đặt BH=x => CH=BC-BH=25-x

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao vào tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC, ta có:

    +) AH²= BH . CH

  hay 12²= x(25-x)

    <=> 144=25x-x²

    ^<=> x²-25x+144=0

   <=>(x²-9x)-(16x-144)=0

   <=>x(x-9)- 16(x-9)=0

   <=>(x-9)(x-16)=0

   <=> x-9=0           x=9

                      <=>

          x-16=0         x=16

vì AB<AC nên BH<CH. Mà BC =25=> x=BH=9 cm=> CH= 25-9=16cm

+) AB²=BH. BC=9. 25=225=> AB=15cm

+)AC²=CH. BC= 16.25=400=> AC=20cm

b)Ta có: snB= AC/BC= 0,8=> góc B=53 độ

Xét tam giác ABC có đường trung tuyến AM=> AM=1/2 BC= BM=> tam giác ABM cân tại M => góc B = góc BAM=53 độ

=> AMH hay AMB= 180 độ- ( 53 độ+53 độ)=74 độ

c) Áp dụng định lí Py-ta -go vào tam giác ABH ta có :

BH²= AB²- AH²

hay BH²= 15²-12²=81=> BH= 9cm

Ta có : BM=1/2 BC=1/2.25=12,5 cm=> HM= BM-BH=12,5-9=3,5cm

=> S tam giác AHM= AH.HM:2=12.3,5:2=21cm²

Có nhiều cách giải, bạn làm theo cách này cx đc