M đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của HM

=>AH=AM và BH=BM

H đối xứng N qua AC

=>AC là đường trung trực của HN

=>AH=AN và CH=CN

Xét ΔAHB và ΔAMB có

AH=AM

BH=BM

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔAMB

=>\(\hat{HAB}=\hat{MAB}\)

=>AB là phân giác của góc HAM

=>\(\hat{HAM}=2\cdot\hat{HAB}\)

Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên OA=OC=OB

=>A nằm trên (O)

Xét ΔAHC và ΔANC có

AH=AN

CH=CN

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔANC

=>\(\hat{HAC}=\hat{NAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAN

=>\(\hat{HAN}=2\cdot\hat{HAC}\)

Ta có: \(\hat{MAN}=\hat{MAH}+\hat{NAH}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

mà AM=AN

nên A là trung điểm của MN

ΔAHB=ΔAMB

=>\(\hat{AHB}=\hat{AMB}\)

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

=>BM⊥MN

ΔAHC=ΔANC

=>\(\hat{AHC}=\hat{ANC}\)

=>\(\hat{ANC}=90^0\)

=>CN⊥NM

mà BM⊥MN

nên BM//CN

Xét hình thang BMNC có

A,O lần lượt là trung điểm của MN,BC

=>AO là đường trung bình của hình thang BMNC

=>AO//BM//CN

=>AO⊥MN

Xét (O) có

OA là bán kính

MN⊥OA tại A

Do đó: MN là tiếp tuyến tại A của (O)

=>MN tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A

Phần a dễ tự làm nhé.
b, Gọi MH giao AB = K
       NH giao AC = T
     O là trung điểm BC 
=> tam giác OAB cân tại O=> góc OBA = góc OAB
phần a=>góc OBA = góc ABM
=> góc MAB + góc BAO = góc MAB + góc MBA = 90 độ
TT OAN = 90 độ
=> A , M ,N thẳng hàng
MAO = 90 độ => MA vuông góc OA => MN là tiếp tuyến của (O,OB)

sorry e mới hok lớp 7 thui

Gấp vs ạ!

Gọi O là trung điểm của DC

=>O là tâm đường tròn đường kính CD
Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó; ΔCED vuông tại E

=>DE⊥AC tại E

OE=OD

=>ΔOED cân tại O

=>\(\hat{OED}=\hat{ODE}\)

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHD vuông tại H có

AH chung

HB=HD

Do đó: ΔAHB=ΔAHD

=>\(\hat{HAB}=\hat{HAD}\)

mà \(\hat{HAB}=\hat{ACB}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)

nên \(\hat{HAD}=\hat{ACB}\)

Xét tứ giác AEDH có \(\hat{AED}+\hat{AHD}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEDH là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}\)

=>\(\hat{DEH}=\hat{ACB}\)

\(\hat{OEH}=\hat{OED}+\hat{HED}\)

\(=\hat{EDC}+\hat{ECD}=90^0\)

=>HE là tiếp tuyến tại E của (O)

b)    CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC

· Gọi F là giao của BD và CA.

Ta có BD.BE= BA.BM (cmt)

= > B D B A = B M B E = > Δ B D M ~ Δ B A E ( c − g − c ) = > B M D = B E A

Mà BCF=BEA(cùng chắn AB)

=>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF

· Gọi T là giao điểm của CD và AH .

DBCD có TH //BD  = > T H B D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (3)

DFCD có TA //FD  = > T A F D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (4)

Mà BD= FD (D là trung điểm BF ) (5)

· Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH ÞT là trung điểm AH .