Bạn tự vẽ hình nhé!

À mà mình chỉ giải cho bạn câu 1 và 2 thôi câu 3 mình đang suy nghĩ hình rối quá

1) Gọi AD và BE lần lượt là hai đường cao của \(\Delta\) ABC .

Theo đề hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H hay H là trực tâm của \(\Delta\) ABC

=> CH là đường cao thứ 3 của \(\Delta\) ABC

=> CH \(\perp\) AB (1)

mà BD \(\perp\) AB (gt) => CH//BD

Có BH \(\perp\) AC (BE là đường cao)

CD \(\perp\) AC

=> BH//CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra : Tứ giác BHCD là hình bình hành

2) Có BHCD là hình bình hành nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà M là trung điểm của BC => M cũng là trung điểm của HD hay HM = DM

Có O là trung điểm của AD hay OA = OD

Xét \(\Delta\) AHD có:

HM = DM

OA = OD

=> OM là đường trung bình của \(\Delta\) AHD

=> OM = \(\frac{1}{2}\) AH hay AH = 2 OM

XONG !!

A B C D E H Q P O

a) Tg ADHE có \(\widehat{BAC}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^o\)

=> Tg ADHE là hcn

=> DE = AH ( t/c hcn )

b) ΔECH vuông ở E => EQ = HQ = \(\dfrac{1}{2}HC\)

+)Tg ADHE là hcn

=> OH = OE = OD

+)Xét ΔQEO và ΔQHO có :

HQ = EQ ( cmt )

OH = OE ( cmt )

OQ chung

=> ΔQEO = ΔQHO ( c.c.c )

=> \(\widehat{OHQ}=\widehat{OEQ}\\ mà:\widehat{OHQ}=90^o\Rightarrow\widehat{QEO}=90^o\Rightarrow EQ\perp DE\)

cmtt , được ΔDPO = ΔHPO ( c.c.c ) => PD ⊥ DE

+) \(EQ\perp DE\\ PD\perp DE\) ( cmt ) ==> EQ // PD => Tg DEQP là hình thang

mà \(\widehat{PDE}=90^o\left(cmt\right)\) => Tg DEQP là hình thang cân

c) Dễ c/m được QO là đường trung bình ΔAHC

=> QO // AC mà AC ⊥ AB => QO ⊥ AB

=> QO là đường cao ΔABQ tại đỉnh B

+) ΔABQ có AH , QO lần lượt là đường cao của BQ và AB

mà \(AH\cap QOtạiO\)

=> O là trực tâm ΔABQ

d) Ta có :

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BC\cdot AH\\ =\dfrac{1}{2}\left(BH+CH\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\left(2DP+2EQ\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\left(DP+EQ\right)\cdot DE\\ =\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)

\(S_{DEQP}=\dfrac{1}{2}\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)

mà S_ABC = ( DP + EQ ) . DE

=> S_ABC = 2S_DEQP

Giả thiết

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).
\(A H\) là đường cao (\(H \in B C\)).
Qua \(H\) kẻ:

• \(H D \bot A B\) tại \(D\),
• \(H E \bot A C\) tại \(E\).

Gọi \(O = A H \cap D E\).
\(P , Q\) lần lượt là trung điểm của \(B H , C H\).

a) Chứng minh \(A H = D E\)

• Ta có:
  \(A B \bot A C \Rightarrow H D \parallel A C , H E \parallel A B\)
• Suy ra tứ giác \(A D H E\) có:
  \(A D \parallel H E , A E \parallel H D\)

⇒ \(A D H E\) là hình bình hành.

• Lại có:
  \(A D \bot A E \left(\right. \text{do}\&\text{nbsp}; A B \bot A C \left.\right)\)

⇒ \(A D H E\) là hình chữ nhật.

Trong hình chữ nhật:

• Hai đường chéo bằng nhau

⇒

\(A H = D E\)

✔ Chứng minh xong.

b) Chứng minh tứ giác \(D E Q P\) là hình thang vuông

Bước 1. Chứng minh \(P Q \parallel D E\)

• Trong tam giác \(B H C\):
• • \(P\) là trung điểm \(B H\),
  • \(Q\) là trung điểm \(C H\).

⇒ \(P Q\) là đường trung bình của tam giác \(B H C\):

\(P Q \parallel B C\)

• Mà \(A H \bot B C\) và \(D E \bot A H\) (do \(D E\) là đường chéo hình chữ nhật)

⇒

\(D E \parallel B C\)

Suy ra:

\(P Q \parallel D E\)

Bước 2. Chứng minh hình thang vuông

• Ta có:
  \(H D \bot A B \Rightarrow H D \bot D P\)
• Do đó một cạnh bên của hình thang vuông góc với đáy.

⇒ \(D E Q P\) là hình thang vuông.

c) Chứng minh \(O\) là trực tâm tam giác \(A B Q\)

• Ta có:
• • \(A H \bot B C \Rightarrow A H \bot B Q\)
  • \(D E \bot A H \Rightarrow D E \bot A B\)
• Điểm \(O\) là giao điểm của:
• • đường cao từ \(A\),
  • đường cao từ \(Q\).

⇒ \(O\) là trực tâm của tam giác \(A B Q\).

d) Chứng minh \(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

• Vì \(P Q\) là đường trung bình của tam giác \(B H C\):

\(P Q = \frac{1}{2} B C\)

• Chiều cao hình thang \(D E Q P\) bằng \(H D = \frac{1}{2} A H\).

⇒

\(S_{D E Q P} = \frac{\left(\right. D E + P Q \left.\right) \cdot H D}{2} = \frac{\left(\right. A H + \frac{1}{2} B C \left.\right) \cdot \frac{1}{2} A H}{2}\)

• Trong khi:

\(S_{A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A H\)

So sánh suy ra:

\(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

✔ Chứng minh hoàn tất.

✅ Kết luận

a) \(A H = D E\)
b) \(D E Q P\) là hình thang vuông
c) \(O\) là trực tâm tam giác \(A B Q\)
d) \(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

1a/IM vuông góc AB=>AMI=90 do

IN vuông góc AC=>ANI=90 do

△ABC vuông tại A=>BAC=90 do

=>góc AMI= gocANI= gocBAC= 90 do => tứ giác AMIN là hình chữ nhật

1b/Có I dx vs D qua N => ID là đường trung trực của AC=>AI=AD; IC=ID(1)

Trong △ABC có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC =>AI=1/2BC hay AI=IC(2)

Từ (1) va (2) => AI=IC=CD=DA => Tu giac AICD la hthoi

2a/ Có M là TĐ AB và M là điểm đối xứng giữa E và H

=> AM=MB VA EM=MH hay AB giao voi EH tai TD M

=> Tg AEBH la hbh co AHB=90 do => Hbh AEBH la hcn

2b/Co AEBH la hcn=>EH=AB

+) Mà AB=AC=>EH=AC(1)

+) △ABC cân tại A có AH là đường cao đồng thời phân giác của góc BAC => góc BAH=góc HAC.

Co goc BAH=1/2 EAH ; góc AHE=1/2AHB

Ma goc EAH= goc AHB=>BAH=AHE hay goc HAC= goc AHE.

Mà 2 góc này ở vị trí SLT=> EH//AC(2)

Từ (1) va (2)=>tg AEHC la hbh

a) Xét tứ giác AMIN có:

∠(MAN) = ∠(ANI) = ∠(IMA) = 90o

⇒ Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).

b) ΔABC vuông có AI là trung tuyến nên AI = IC = BC/2

do đó ΔAIC cân có đường cao IN đồng thời là đường trung tuyến

⇒ NA = NC.

Mặt khác ND = NI (t/c đối xứng) nên ADCI là hình bình hành

Lại có AC ⊥ ID (gt). Do đó ADCI là hình thoi.

c) Ta có: AB2 = BC2 – AC2 (định lí Py-ta-go)

= 252 – 202 ⇒ AB = √225 = 15 (cm)

Vậy SABC = (1/2).AB.AC = (1/2).15.20 = 150 (cm2)

d) Kẻ IH // BK ta có IH là đường trung bình của ΔBKC

⇒ H là trung điểm của CK hay KH = HC (1)

Xét ΔDIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (BK // IH)

Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DK = KH = HC ⇒ DK/DC= 1/3.

a) Tứ giác AKHI có 4 góc vuông nên nó là hình chữ nhật, có IK và AH là hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vậy IK đi qua trung điểm của AH.
b) Tam giác vuông có KN là trung tuyến nên KN = 1/2HC = HN. Vậy tam giác NKH cân
Suy ra: góc KHN = góc HKN (1)
Tam giác OHK cân vì OH = OK.
Suy ra: góc OHK = góc OKH (2)
Mà góc OHK + góc KHN = 1 vuông (3)
Từ (1), (2), (3) Suy ra OKH + góc HKN = góc OKN = 1 vuông. Vậy NK vuông góc với KI (4)
Chứng minh tương tự: MI vuông góc với KI (5)
Từ (4) và (5) Suy ra MI // NK
Vậy tứ giác MNKI là hình thang vuông.
Khi MNKI là hình chữ nhật thì góc KNC = 1v Suy ra góc NCK = 45 độ. Vậy tam giác ABC vuông cân thì MNKI là hình chữ nhật.
c) AL // KN ( cặp góc đồng vị LAC và NKC bằng nhau vì cùng bằng góc C)
Mà NK vuông góc với IK ( câu b)
Suy ra AL vuông góc với IK

Bài 2.

-Hình bn tự vẽ nhé!

Bài làm:

a, Có F là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow\)AF=\(\dfrac{1}{2}\)AC (1)

Xét tam giác ABC ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

G là trung điểm của BC (gt)

\(\Rightarrow\)EG là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow\)EG=\(\dfrac{1}{2}\)AC và EG song song với AC hay EG song song với AF (2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)AEGF là hình bình hành.

mà góc A= 90 độ (gt)\(\Rightarrow\)AEGF là hình chữ nhật.

AEGF là hcn nên có AE song song với GF ( Tính chất hcn) hay EB song song với IF (3)

mà EI song song với BF (gt) (4)

Từ (3) và (4)\(\Rightarrow\)BFIE là hình bình hành.

b, Theo a, ta có: BFIE là hình bình hành nên BE=FI (tính chất hình bình hành) và AEGF là hình chữ nhật nên AE=GF (tính chất hình chữ nhật)

mà AE=EB (E là trung điểm của AB)

\(\Rightarrow\)GF=FI.

Xét tứ giác AGCI có: FA=FC (F là trung điểm của AC), GF=FI (cmt)

\(\Rightarrow\)AGCI là hình bình hành.

mà GI vuông góc với AC nên hình bình hành AGCI là hình thoi

c, Theo b, ta có: AGCI là hình thoi

Để tứ giác (hình thoi) AGCI là hình vuông thì góc AGC= 90 độ hay AG vuông góc với BC.

Khi đó AG là đường cao của tam giác ABC

Mặt khác AC là đường trung tuyến của tam giác ABC ( G lf trung điểm của BC)\(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân tại A

mà tam giác ABC vuông tại (gt) nên tam giác ABC vuông cân tại A thì AGCI là hình vuông.

a) xét tam giác vuông ABC có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow BC=10\operatorname{cm}\)

áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác ABC ta có:

=> \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}\)

=> \(\frac{AD}{DC}=\frac{6}{10}=\frac35\)

=> \(\frac{AD}{3}=\frac{DC}{5}\)

áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{AD}{3}=\frac{DC}{5}=\frac{AD+DC}{5+3}=\frac{AC}{8}=1\operatorname{cm}\)

=> AD=3 x 1=3cm

DC=5 x 1=5cm

b)xét tam giác ABH và tam giác CBA có:

góc B chung

góc AHB= góc BAC= 90 độ

=> △ABH~△CBA(g.g)

=> \(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{BC}\)

=> \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{6.8}{10}=4,8\operatorname{cm}\)

xét tam giác AHC vuông tại H có:

\(HC^2=AC^2-AH^2\)

\(=8^2-4,8^2\)

\(=40,96\)

=> \(HC=\sqrt{40,96}=6,4\operatorname{cm}\)

c) từ I kẻ IK vuông góc BC tại K

từ I kẻ IE vuông góc AB tại E

từ I kẻ IF vuông góc AC tại F

xét tứ giác AEIF có:

góc A= góc AEI= góc ÀI= 90 độ

=> tứ giác AEIF là hcn

ta có I là giao của hai đường phân giác trong tam giác ABC

=> AI là đường phần giác trong tam giác ABC

=> góc EAI= góc FAI

xét tam giác EAI và tam giác FAI có:

góc EAI= góc AFI= 90 độ

góc EAI= góc FAI

cạnh AI là cạnh chung

=> △EAI=△FAI(ch-gn)

=> EI=IF

hcn AEIF có EI= IF

=> tứ giác AEIF là hình vuông

=>AE=EI=IF=FA

xét tam giác BEI và tam giác BIK có:

chung BI

góc EBI = góc KBI

góc BEI= góc BKI= 90 độ

=>△BEI=△BIK(ch-gn)

=> BE=BK

CMTT: △CFI=△CKI(ch-gn)

=> CF=CK

ta xét tổng AB+AC

AB+AC=(AE+BE)+(AF+CF)

vì AE=AF, BE=BK,CF=CK

=> AB+AC=2AE+BK+CK

=> AB+AC=2AE+BC

=> 6+8=2AE+10

=>14+2AE+10

2AE=4

AE=2cm

=> IK=IE=AE=2cm

BK=BE=AB-AE=6-2=4cm

vì M là trung điểm BC nên BM= 10:2=5cm

ta lại có: KM=BM-BK=5-4=1cm

xét △BKI vuông tại K

=> \(BI^2=BK^2+IK^2\)

\(BI^2=4^2+2^2=20\operatorname{cm}\)

xét △IKM vuông tại K

=> \(IM^2=IK^2+KM^2\)

\(IM^2=2^2+1^2=5\)

cộng lại hai vế trên ta có:

\(BI^2+IM^2=20+5=BM^2=5^2=25\)

=> △BIM vuông tại I

=> góc BIM= 90 độ