Bài 1:

a)2n+5chia hết cho n+1<=>2(n+1)+3 chia hết cho n+1=>3 chia hết cho n+1 mà n thuộc N

=>n+1 thuộc {1;3}

=>n thuộc{0;2}

b)4n-7chia hết cho n-1<=>4(n-1)-3chia hết cho n-1=>3chia hết cho n-1 mà n thuộc N

=>n-1 thuộc{-1;1;3}

=>n thuộc {1;2;4}

c)10-2n chia hết cho n-2<=>14-2(n-2) chia hết cho n-2 =>14 chia hết cho n-2 mà n thuộc N

=>n-2 thuộc {-2;-1;1;2;7;14}

=>n thuộc {0;1;3;4;9;16}

d)5n-8 chia hết cho 4-n <=>5(4-n)-28 chia hết cho n-4=>28chia hết cho n-4 mà n thuộc N

=>n-4 thuộc {-4;-2;-1;1;2;4;7;14;28}

=>n thuộc{0;2;3;5;6;8;11;18;32}

e)n²+3n+6 chia hết cho n-3<=>-n(n-3)+6 chia hết cho n-3=>6 chia hết cho n-3 mà n thuộc N

=>n-3 thuộc{-3;-2;-1;1;2;3;6}

=>n thuộc{0;1;2;4;5;6;9}

Bài 2:

a)A=2+2²+2³+...+2¹⁰⁰ chia hết cho 2

A=2+2²+2³+2⁴+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰

A=2(1+2)+2³(1+2)+...+2⁹⁹(1+2) chia hết cho 1+2<=>A chia hết cho 3

A=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+...+2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰

A=2(1+2+2²+2³)+2⁴(1+2+2²+2³)+...+2⁹⁷(1+2+2²+2³)=>A chia hết cho 1+2+2²+2³ <=>Achia hết cho 15

b)A chia hết cho 2 => A là hợp số

c)A=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+...+2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰

A=(2+2²+2³+2⁴⁾+(2⁵+2⁶+2⁷+2⁸⁾+...+(2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰)

A=(2^4n₁-3+2^4n₁-3+2^4n₁-1+2^4n₁)+(2^4n₂-3+2^4n₂-3+2^4n₂-1+2^4n₂)+...+(2^4n₂₅-3+2^4n₂₅-3+2^4n₂₅-1+2^4n₂₅)

A=(...2+...4+...8+...6)+(...2+...4+...8+...6)+...+(...2+...4+...8+...6)

A=...0+...0+...+...0

A=0

Bài 3:

a)gọi UCLN của 2n+1 và 3n+1 là d

2n+1 chia hết cho d => 6n+3 chia hết cho d 

3n+1 chia hết cho d =>6n+2 chia hết cho d 

=>6n+3-(6n+2) chia hết cho d 

1 chia hết cho d 

=>d =1=>UCLN cua 2n+1 va 3n+1 chia hết cho d  

b)Gọi UCLN cua 9n+13và 3n+4 là m

9n+13 chia hết cho m

3n+4 chia hết cho m=>9n+12 chia hết cho m

=>9n+13-(9n+12) chia hết cho m

1 chia hết cho m 

=> m=1

=> UCLN cua 9n+13 va 3n+4 là1

c) gọi UCLN cua 2n+1 và 2n+3 là n

2n+3 chia hết cho n

2n+1 chia hết cho n

2n+3-(2n+1) chia hết cho n

2chia hết cho n

n thuộc {1,2}

 => UCLN của 2n+1 và 2n+3 là 1 hoặc 2

dài thấy mợ luôn để t lm đc bài nào thì t lm

a)2n+5chia hết cho n+1<=>2(n+1)+3 chia hết cho n+1=>3 chia hết cho n+1 mà n thuộc N

=>n+1 thuộc {1;3}

=>n thuộc{0;2}

b)4n-7chia hết cho n-1<=>4(n-1)-3chia hết cho n-1=>3chia hết cho n-1 mà n thuộc N

=>n-1 thuộc{-1;1;3}

=>n thuộc {1;2;4}

c)10-2n chia hết cho n-2<=>14-2(n-2) chia hết cho n-2 =>14 chia hết cho n-2 mà n thuộc N

=>n-2 thuộc {-2;-1;1;2;7;14}

=>n thuộc {0;1;3;4;9;16}

d)5n-8 chia hết cho 4-n <=>5(4-n)-28 chia hết cho n-4=>28chia hết cho n-4 mà n thuộc N

=>n-4 thuộc {-4;-2;-1;1;2;4;7;14;28} 

=>n thuộc{0;2;3;5;6;8;11;18;32}

e)n^2+3n+6 chia hết cho n-3<=>-n(n-3)+6 chia hết cho n-3=>6 chia hết cho n-3 mà n thuộc N

=>n-3 thuộc{-3;-2;-1;1;2;3;6}

=>n thuộc{0;1;2;4;5;6;9}

Bài 2:

a)A=2+2^2+2^3+...+2^100  chia hết cho 2

A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^99+2^100

A=2(1+2)+2^3 (1+2)+...+2^99 (1+2) chia hết cho 1+2<=>A chia hết cho 3

A=2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+...+2^97+2^98+2^99+2^100

A=2(1+2+2^2+2^3 )+2^4 (1+2+2^2+2^3 )+...+2^97 (1+2+2^2+2^3 )=>A chia hết cho 1+2+2^2+2^3 <=>Achia hết cho 15

b)A chia hết cho 2 => A là hợp số.

c)A=2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+...+2^97+2^98+2^99+2^100

A=(2+2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7+2^8)+...+(2^97+2^98+2^99+2^100 )

A=(2^{4n1 -3}+2^{4n1 -3}+2^{4n1 -1}+2⁴ⁿ¹)+(2^{4n2 -3}+2^{4n2 -3}+2^{4n2 -1}+2⁴ⁿ²)+...+(2^{4n25 -3}+2^{4n25 -3}+2^{4n25 -1}+2⁴ⁿ²⁵)

A=(...2+...4+...8+...6)+(...2+...4+...8+...6)+...+(...2+...4+...8+...6)

A=...0+...0+...+...0.

A=....0

1.a) goi d la uoc chung cua 2n+1 va 2n+3

Suy ra 2n+1 chia het cho d va 2n+3 chia het cho d 

 Suy ra (2n+3)-(2n+1) chia het cho d 

             Suy ra 2 chia het cho d

             MA d la uoc cua mot so le  nen d=1

VAy 2n+1 va 2n+3 la so nguyen to cung nhau.

b) Goi d la uoc chung cua 2n+5 va 3n+7

Suy ra 2n+5 chia het cho d va 3n+7 chia het cho d

Suy ra 3(2n+5)-2(3n+7) chia het cho d

Suy ra 6n+15-6n-14 chia het cho d

Suy ra 1 chia het cho d

Suy ra d=1

Vay 2n+5 va 3n+7 la so nguyen to cung nhau.

Cau 2)

Vi 2n+1 luon luon chia het cho 2n+1

Suy ra 2(2n+1) chia het cho 2n+1

Suy ra 4n+2 chia het cho 2n+1(1)

Gia su 4n+3 chia het cho 2n+1 (2)

Tu (1) va (2) suy ra (4n+3)-(4n+2) chia het cho 2n+1

suy ra 1 chia het cho 2n+1

suy ra 2n+1 =1

           2n=0

                n=0

Vay n=0 thi 4n+3 chia het cho 2n+1.

a. Gọi d là ƯC của 7n+10 và 5n+7 ta có:

7n+10 chia hết cho d suy ra 35n+50 chia hết cho d

5n+7 chia hết cho d suy ra 35n+49 chia hết d

suy ra (35n+50)-(35n+49) chia hết d

suy ra 1 chia hết d

suy ra d=1

suy ra 7n+10 và 5n+7 nguyên tố cùng nhau

b tương tự như a

ƯC(2n+3,4n+8)=d

2n+3 chia hết d 

4n+8 chia hết d suy ra 2n+4 chia hết d

suy ra (2n+4)-(2n+3) chia hết d

suy ra 1 chia hết d 

suy ra d=1

 suy ra 2n+3 và 4n+8 nguyên tố cùng nhau

a) 7n+10 và 5n+7

Gọi d là ƯCLN ( 7n+10,5n+7)

=> 7n+10 chia hết cho d

     5n+7 chia hết cho d

=> 5(7n+10) chia hết cho d

    7(5n+7) chia hết cho d

=> 5(7n+10) - 7(5n+7) chia hết cho d

=> 35n + 50 - 35n+49 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=> d=1

Vậy 7n+10 và 5n+7 nguyên tố cùng nhau.

Mik mới giải ra câu a) không biết có đúng không.

Các bạn giải câu b) cho mik nhé ^_^

Cho số tự nhiên \(n>2\). Biết \(2^n-1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(2^n+1\) là hợp số.

Chứng minh:

Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\) nên \(n\) không thể là số chẵn.

Thật vậy, nếu \(n\) chẵn thì \(n=2k\) (\(k>1\)).

Khi đó:

\(2^n-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\)

Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.

Vậy \(n\) là số lẻ.

Đặt \(n=2k+1\) (\(k\geq1\)).

Ta có:

\(2^n+1=2^{2k+1}+1=2(2^{2k})+1\).

Cách phân tích phù hợp là:

\(2^n+1=2^{2k+1}+1\), không có nhân tử chung đơn giản theo dạng trên. Tuy nhiên, vì \(n\) lẻ, ta có:

\(2^n+1\) không nhất thiết là hợp số.

Lưu ý: Đề bài này chưa đúng. Chẳng hạn \(n=3\), ta có \(2^3-1=7\) là số nguyên tố và \(2^3+1=9\) là hợp số. Trường hợp này đúng, nhưng với \(n=5\), \(2^5-1=31\) là số nguyên tố và \(2^5+1=33\) cũng hợp số. Cần kiểm tra thêm điều kiện của đề nếu muốn chứng minh tổng quát.

Cho hai số tự nhiên \(a,b\), trong đó \(a\) là số lẻ. Chứng minh hai số \(a\) và \(ab+2^{2013}\) nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh:

Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(ab+2^{2013}\).

Vì \(d\mid a\) nên \(d\mid ab\).

Mà \(d\mid ab+2^{2013}\), suy ra:

\(d\mid (ab+2^{2013})-ab\)

Hay \(d\mid 2^{2013}\).

Do đó \(d\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(2^{2013}\).

Vì \(a\) là số lẻ nên \(a\) không có ước chung nào với \(2^{2013}\) ngoài 1.

Suy ra \(d=1\).

Vậy \(a\) và \(ab+2^{2013}\) là hai số nguyên tố cùng nhau. \(\square\)

Mình VD cho bạn 2 bài thôi nha, các câu khác tương tự:

b)Gọi d > 0 là ước số chung của 2n+3 và 4n + 8
⇒ d ∈ Ư [2(2n + 3) = 4n + 6]
(4n + 8) - (4n + 6) = 2
⇒ d ∈ Ư(2) ⇒ d ∈ {1,2}
d = 2 không là ước số của số lẻ 2n+3 ⇒ d = 1
vậy 2n+3 và 4n + 8 nguyên tố cùng nhau.

c)Gọi d > 0 là ước số chung của 2n+3 và 4n + 8
⇒ d ∈ Ư [2(2n + 3) = 4n + 6]
(4n + 8) - (4n + 6) = 2
⇒ d ∈ Ư(2) ⇒ d ∈ {1,2}
d = 2 không là ước số của số lẻ 2n+3 ⇒ d = 1
vậy 2n+3 và 4n + 8 nguyên tố cùng nhau.

a) Gọi d là ƯCLN(7n+1;5n+7) => 7n+10 chia hết cho d; 5n+7 chia hết cho d

=>5(7n+10) chia hết cho d; 7(5n+7) chia hết cho d

=>35n+50 chia hết cho d; 35n+49 chia hết cho d

=>(35n+50)-(35n+49) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>7n+10 và 5n+7 nguyên tố cùng nhau với mọi n

b) Gọi m là ƯCLN(2n+3;4n+8) => 2n+3 chia hết cho m;4n+8 chia hết cho m

=>2(2n+3) chia hết cho m => 4n+6 chia hết cho m

=>(4n+8)-(4n+6) chia hết cho m 

=>2 chia hết cho m

=>m thuộc {1;2}

2n+3 là số lẻ => 2n+3 không chia hết cho 2 => m khác 2

=>m=1

=>đpcm

a) Gọi d > 0 \(\in\) ƯC(7n+10;5n+7)
\(\Rightarrow\) d \(\in\) Ư [5.(7n+10) = 35n +50]
và d là ước số của 7(5n+7)= 35n +49 
mà (35n + 50) - (35n +49) =1 
\(\Rightarrow\) d là ước số của 1 \(\Rightarrow\) d = 1 
vậy 7n+10 và 5n+7 nguyên tố cùng nhau. 

b) Gọi d > 0 là ước số chung của 2n+3 và 4n + 8 
\(\Rightarrow\) d \(\in\) Ư [2(2n + 3) = 4n + 6] 
(4n + 8) - (4n + 6) = 2 
\(\Rightarrow\) d \(\in\) Ư(2) \(\Rightarrow\) d \(\in\) {1,2} 
d = 2 không là ước số của số lẻ 2n+3 \(\Rightarrow\) d = 1 
vậy 2n+3 và 4n + 8 nguyên tố cùng nhau. 

 Vây : 2n + 3 va 4n + 8 nguyên tố cùng nhau