Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Ta có : \(\begin{cases}AB\perp BC\left(ABCDvuong\right)\\SA\perp BC\left(SA\perp\left(ABCD\right)\right)\end{cases}\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) mà \(SB\subset\left(SAB\right)\) nên \(BC\perp SB\) Vậy \(\Delta SBC\left(\perp B\right)\)
tương tự ta có : \(\begin{cases}SA\perp DC\\AD\perp DC\end{cases}\) \(\Rightarrow DC\perp\left(SAD\right)\) mà \(SD\subset\left(SAD\right)\) nên \(SD\perp DC\) Vậy \(\Delta SDC\left(\perp D\right)\)
ta có \(SA\perp AD\) nên \(\Delta SAD\left(\perp A\right)\)
Có \(SA\perp AB\) nên \(\Delta SAB\left(\perp A\right)\)
b. Ta có : \(\begin{cases}AC\perp BD\\SA\perp BD\end{cases}\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\) mà \(BD\subset\left(SBD\right)\) nên \(\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)
1.
\(cos\left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\dfrac{10}{10.\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)=45^0\)
2.
a.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) (1)
Mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)
\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=1\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\)
b.
Từ (1) \(\Rightarrow BC\perp AM\)
Mà \(AM\perp SB\left(gt\right)\) \(\Rightarrow AM\perp\left(SBC\right)\) (2)
\(\Rightarrow AM\perp MN\Rightarrow\Delta AMN\) vuông tại M
Từ (2) \(\Rightarrow AM\perp SC\), mà \(SC\perp AN\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow SC\perp\left(AMN\right)\) (3)
Lại có \(SA\perp\left(ABC\right)\) theo giả thiết
\(\Rightarrow\) Góc giữa (AMN) và (ABC) bằng góc giữa SA và SC hay là góc \(\widehat{ASC}\)
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{ASC}=\dfrac{AC}{SA}=\sqrt{2}\Rightarrow\widehat{ASC}\approx54^044'\)
Từ (3) \(\Rightarrow AN\) là hình chiếu vuông góc của AC lên (AMN)
\(\Rightarrow\widehat{CAN}\) là góc giữa AC và (AMN)
Mà \(\widehat{CAN}=\widehat{ASC}\) (cùng phụ \(\widehat{ACS}\)) \(\Rightarrow\widehat{CAN}=...\)
c.
\(\left\{{}\begin{matrix}IC=\dfrac{1}{2}AC\left(gt\right)\\AI\cap\left(SBC\right)=C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
Mà từ (2) ta có \(AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
\(SA=AB\left(gt\right)\Rightarrow\Delta SAB\) vuông cân tại A
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{2}AM=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)
Hình vẽ bài 2:
3.
a.
Do \(SA=SB=SC=SD\Rightarrow\) hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) trùng tâm O của hình vuông
Hay \(SO\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow SO\perp BD\)
Lại có \(AC\perp BD\) (hai đường chéo hình vuông)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BD\perp SC\)
Mà MN là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow MN||BD\)
\(\Rightarrow MN\perp SC\Rightarrow\left(\widehat{MN;SC}\right)=90^0\)
b.
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2a\sqrt{2}\)
\(SA=SC=2a\Rightarrow SA^2+SC^2=8a^2=AC^2\)
\(\Rightarrow\Delta SAC\) vuông tại S (pitago đảo)
\(\Rightarrow SA\perp SC\)
c.
\(AB||CD\Rightarrow AB||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}AC=2OC\\AO\cap\left(SCD\right)=C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)
Từ O kẻ \(OE\perp CD\), từ \(O\) kẻ \(OF\perp SE\)
\(\Rightarrow OF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow OF=d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)
\(OE=\dfrac{1}{2}BC=a\) (đường trung bình)
\(\Delta SAC\) vuông tại S (theo cm câu b) \(\Rightarrow SO=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Hệ thức lượng:
\(OF=\dfrac{SO.OE}{\sqrt{SO^2+OE^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2OF=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}\)
Hình vẽ bài 3: